6.2 DE公式の誤差解析

(工事中)

(下書き) すでに述べたように

$$w(z):=\varphi_1'(z) =\frac{\D}{\D z}\tanh\left(\frac{\pi}{2}\sin... ...right) =\frac{\frac{\pi}{2}\cosh z}{\cosh^2\left(\frac{\pi}{2}\sinh z\right)}$$

とおくと、これは遠方で二重指数関数的に減衰する。実際

$$w(x)\simeq \pi\exp\left(-\frac{\pi}{2}\exp\vert x\vert+\vert x\vert\right)$$   ( $\mathbb{R}\ni x\to\pm\infty$)$$.$$

$$\frac{2\pi d}{h}=\frac{\pi}{2}\exp(N h)$$

を満たすように $h$, $N$ をとると、 $\left\vert I_h-I\right\vert\kinji\left\vert I_h-I_{h,N}\right\vert$ となることが期待できて

$$\left\vert I_{h,N}-I\right\vert\le C'\left\Vert f\right\Vert\exp\left(-CN/\log N\right)$$

が導ける。 これは $N$ が2倍になると、誤差が2乗になる、 すなわち有効桁数が2倍近くになることを意味している。

高橋・森は色々な $w$ を考えた末に、 ここにあげたような (二重指数関数的に減衰する) $w$ が最良の結果を生じると論じた ([5])。