6.1 実軸上の積分に対する台形公式

実解析的な $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ に対して、

$$I=\int_{-\infty}^\infty f(x)\;\Dx$$ (39)

の近似値を求めるため、台形則を用いたときの誤差を調べたい。

$h>0$, $N\in\mathbb{N}$ とするとき、

$$T_h:=h\sum_{n=-\infty}^\infty f(n h),\quad T_{h,N}:=h\sum_{n=-N}^{N}f(nh)$$ (40)

とおく。

$f$ はある $d>0$ に対して、

$${\cal D}(d):=\left\{z\in\mathbb{C}\relmiddle\vert\left\vert\MyIm z\right\vert<d\right\}$$ (41)

上の正則な関数に拡張されると仮定する。

実際の数値計算では、 $T_h$ を有限和で置き換えた $T_{h,N}$ を使わざるを得ない。 その場合は、関数 $f$ の遠方での減衰の具合が問題となる。

そこで遠方での減衰の具合の物差しとなるような正則関数 $w\colon {\cal D}(d)\to\mathbb{C}$ を固定して、 $\vert f(z)\vert\le$   定数$\vert w(z)\vert$ ( $z\in{\cal D}(d)$) を満たす $f$ について考える。

${\cal D}(d)$ で正則で 0 にならない関数 $w$ を一つ取り、

$$\left\Vert f\right\Vert:=\sup_{z\in{\cal D}(d)}\left\vert\frac{f(z)}{w(z)}\right\vert,$$ (42)

$$H(w,d):=\left\{f\relmiddle\vert f\colon {\cal D}(d)\to\mathbb{C} \text{正則}, \left\Vert f\right\Vert<+\infty \right\}$$ (43)

とおく。

$w$ は、 $x\to \pm \infty$ のときの $f(x)$ の減衰の度合いを示す関数である。

(46) の右辺は、 $h\to +0$ とするとき、急速に減衰する (0 に近づく) ことに注意すること。 その減衰の速さは、$d$ が大きいほど大きい。

証明. $c\in (0,d)$, $N\in\mathbb{N}$ を固定して、4点 $-\left(N+1/2\right)h-ci$, $\left(N+1/2\right)h-ci$, $\left(N+1/2\right)h+ci$, $-\left(N+1/2\right)h+ci$ を頂点とする長方形を正の向きに一周する曲線を $C_{c,N}$ とする。

$\varphi(z):=\cot\dfrac{\pi z}{h}=\dfrac{\cos\left(\pi z/h\right)} {\sin\left(\pi z/h\right)}$ において、

   $z$ が極$$\quad\Iff\quad (\exists k\in\mathbb{Z})\quad \frac{\pi z}{h}=k\pi\quad \quad\Iff\quad (\exists k\in\mathbb{Z})\quad z=kh.$$

$kh$ は $\varphi$ の$1$位の極であり、

$$\Res\left(\varphi;k h\right)= \left. \frac{\cos\left(\pi z/h\ri... ...\left(\sin\left(\pi z/h\right)\right)'} \right\vert _{z=k h} =\frac{h}{\pi}.$$

留数定理により、

$$\int_{C_{c,N}}f(z)\cot\frac{\pi z}{h}\;\D z =2\pi i\sum_{k=-N}^{N}f\left(k h\right)\Res(\varphi;kh) =2ih\sum_{k=-N}^{N}f(k h).$$

ゆえに

$$\sum_{k=-N}^N f(k h)=\frac{1}{2i}\int_{C_{c,N}}f(z)\cot\frac{\pi z}{h}\;\Dz.$$

この式で、 $N\to\infty$ とすると、

$$T_h=\sum_{k=-\infty}^\infty f\left(k h\right) =\frac{1}{2i} \in... ...)}{h} +f\left(x-i c\right)\cot\frac{\pi\left(x-i c\right)}{h} \right) \D x.$$

一方、Cauchy の積分定理より

$$\int_{-\infty}^\infty f(x+ic)\;\Dx=I,\quad \int_{-\infty}^\infty f(x-ic)\;\Dx=I$$

であるから、

$$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\left(f(x+ic)+f(x-ic)\right)\;\Dx.$$

ゆえに

$$T_h-I=\int_{-\infty}^\infty \left[ f(x+ic)\frac{\exp\frac{2\pi ... ...ac{\exp\frac{-2\pi i(x-ic)}{h}} {1-\exp\frac{-2\pi i(x-ic)}{h}} \right] \Dx$$

であるから、

$$\left\vert T_h-I\right\vert \le\frac{\exp\left(-2\pi c/h\right)}{1-\exp\left(-2\pi c/h\right)... ...fty\left(\left\vert f(x+ic)\right\vert+\left\vert f(x-ic)\right\vert\right) \Dx$$

$$=\frac{\exp\left(-2\pi c/h\right)}{1-\exp\left(-2\pi c/h\right)} \Lambda(f,c).$$

$c\to d-0$ とすると、(46) を得る。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$T_{h,N}$ の誤差については、次の定理を得る。

証明. まず $\left\vert f(z)\right\vert\le\Vert f\Vert\left\vert w(z)\right\vert$ に注意する。 これから $\Lambda(\textcolor{orange}{f},d-0)\le\Vert\textcolor{orange}{f}\Vert \Lambda(\textcolor{orange}{w},d-0)$.

三角不等式から

$$\sharp \left\vert I-T_{h,N}\right\vert \le\left\vert I-T_h\right\vert+\left\vert T_h-T_{h,N}\right\vert.$$

($\sharp$) の右辺第1項については、 補題6.1 を用いて

$$\left\vert I-T_h\right\vert \le\Lambda(\textcolor{orange}{f},d-0... ...\Lambda(\textcolor{orange}{w},d-0) \frac{\exp(-2\pi d/h)}{1-\exp(-2\pi d/h)}.$$

($\sharp$) の右辺第2項については

$$\left\vert T_h-T_{h,N}\right\vert =\left\vert h\sum_{\vert k\ver... ...right\Vert\sum_{\vert k\vert>N}\left\vert\textcolor{orange}{w}(kh)\right\vert.$$

ゆえに

$$\left\vert I-T_{h,N}\right\vert\le \left\Vert\textcolor{orange}{... ..._{\vert k\vert>N}\left\vert\textcolor{orange}{w}(kh)\right\vert \right). \qed$$

$\qedsymbol$