6.1 実軸上の積分に対する台形公式

実解析的な $ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ に対して、

(39) $\displaystyle I=\int_{-\infty}^\infty f(x)\;\Dx$

の近似値を求めるため、台形則を用いたときの誤差を調べたい。

$ h>0$, $ N\in\mathbb{N}$ とするとき、

(40) $\displaystyle T_h:=h\sum_{n=-\infty}^\infty f(n h),\quad
T_{h,N}:=h\sum_{n=-N}^{N}f(nh)
$

とおく。

$ f$ はある $ d>0$ に対して、

(41) $\displaystyle {\cal D}(d):=\left\{z\in\mathbb{C}\relmiddle\vert\left\vert\MyIm z\right\vert<d\right\}
$

上の正則な関数に拡張されると仮定する。


実際の数値計算では、 $ T_h$ を有限和で置き換えた $ T_{h,N}$ を使わざるを得ない。 その場合は、関数 $ f$ の遠方での減衰の具合が問題となる。

そこで遠方での減衰の具合の物差しとなるような正則関数 $ w\colon
{\cal D}(d)\to\mathbb{C}$ を固定して、 $ \vert f(z)\vert\le$   定数$ \vert w(z)\vert$ ( $ z\in{\cal D}(d)$) を満たす $ f$ について考える。


$ {\cal D}(d)$ で正則で 0 にならない関数 $ w$ を一つ取り、

(42)   $\displaystyle \left\Vert f\right\Vert:=\sup_{z\in{\cal D}(d)}\left\vert\frac{f(z)}{w(z)}\right\vert,$
(43)   $\displaystyle H(w,d):=\left\{f\relmiddle\vert f\colon {\cal D}(d)\to\mathbb{C} \text{正則}, \left\Vert f\right\Vert<+\infty \right\}$

とおく。

$ w$ は、 $ x\to \pm \infty $ のときの $ f(x)$ の減衰の度合いを示す関数である。


\begin{jlemma}[無限和台形則の誤差評価, Stenger \cite{Stenger1973}, 19...
...ight)}{1-\exp\left(-2\pi d/h\right)}
\Lambda(f,d-0).
\end{equation}\end{jlemma}
(46) の右辺は、 $ h\to +0$ とするとき、急速に減衰する (0 に近づく) ことに注意すること。 その減衰の速さは、$ d$ が大きいほど大きい。

証明. $ c\in (0,d)$, $ N\in\mathbb{N}$ を固定して、4点 $ -\left(N+1/2\right)h-ci$, $ \left(N+1/2\right)h-ci$, $ \left(N+1/2\right)h+ci$, $ -\left(N+1/2\right)h+ci$ を頂点とする長方形を正の向きに一周する曲線を $ C_{c,N}$ とする。

$ \varphi(z):=\cot\dfrac{\pi z}{h}=\dfrac{\cos\left(\pi z/h\right)}
{\sin\left(\pi z/h\right)}$ において、

   $ z$ が極$\displaystyle \quad\Iff\quad
(\exists k\in\mathbb{Z})\quad \frac{\pi z}{h}=k\pi\quad
\quad\Iff\quad
(\exists k\in\mathbb{Z})\quad z=kh.
$

$ kh$$ \varphi$$ 1$位の極であり、

$\displaystyle \Res\left(\varphi;k h\right)=
\left.
\frac{\cos\left(\pi z/h\ri...
...\left(\sin\left(\pi z/h\right)\right)'}
\right\vert _{z=k h}
=\frac{h}{\pi}.
$

留数定理により、

$\displaystyle \int_{C_{c,N}}f(z)\cot\frac{\pi z}{h}\;\D z
=2\pi i\sum_{k=-N}^{N}f\left(k h\right)\Res(\varphi;kh)
=2ih\sum_{k=-N}^{N}f(k h).
$

ゆえに

$\displaystyle \sum_{k=-N}^N f(k h)=\frac{1}{2i}\int_{C_{c,N}}f(z)\cot\frac{\pi z}{h}\;\Dz.
$

この式で、 $ N\to\infty$ とすると、

$\displaystyle T_h=\sum_{k=-\infty}^\infty f\left(k h\right)
=\frac{1}{2i}
\in...
...)}{h}
+f\left(x-i c\right)\cot\frac{\pi\left(x-i c\right)}{h}
\right)
\D x.
$

一方、Cauchy の積分定理より

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x+ic)\;\Dx=I,\quad
\int_{-\infty}^\infty f(x-ic)\;\Dx=I
$

であるから、

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty\left(f(x+ic)+f(x-ic)\right)\;\Dx.
$

ゆえに

$\displaystyle T_h-I=\int_{-\infty}^\infty
\left[
f(x+ic)\frac{\exp\frac{2\pi ...
...ac{\exp\frac{-2\pi i(x-ic)}{h}}
{1-\exp\frac{-2\pi i(x-ic)}{h}}
\right]
\Dx
$

であるから、

    $\displaystyle \left\vert T_h-I\right\vert$ $\displaystyle \le\frac{\exp\left(-2\pi c/h\right)}{1-\exp\left(-2\pi c/h\right)...
...fty\left(\left\vert f(x+ic)\right\vert+\left\vert f(x-ic)\right\vert\right) \Dx$
      $\displaystyle =\frac{\exp\left(-2\pi c/h\right)}{1-\exp\left(-2\pi c/h\right)} \Lambda(f,c).$

$ c\to d-0$ とすると、(46) を得る。 $ \qedsymbol$ $ \qedsymbol$

$ T_{h,N}$ の誤差については、次の定理を得る。


\begin{jproposition}
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$d>0$.
$w$\ は ${\cal D}(d)$\...
...(w,d-0)
+h\sum_{\vert k\vert>N}w(kh)
\right).
\end{equation}\end{jproposition}

証明. まず $ \left\vert f(z)\right\vert\le\Vert f\Vert\left\vert w(z)\right\vert$ に注意する。 これから $ \Lambda(\textcolor{orange}{f},d-0)\le\Vert\textcolor{orange}{f}\Vert
\Lambda(\textcolor{orange}{w},d-0)$.

三角不等式から

($ \sharp$) $\displaystyle \left\vert I-T_{h,N}\right\vert
\le\left\vert I-T_h\right\vert+\left\vert T_h-T_{h,N}\right\vert.
$

($ \sharp$) の右辺第1項については、 補題6.1 を用いて

$\displaystyle \left\vert I-T_h\right\vert
\le\Lambda(\textcolor{orange}{f},d-0...
...\Lambda(\textcolor{orange}{w},d-0)
\frac{\exp(-2\pi d/h)}{1-\exp(-2\pi d/h)}.
$

($ \sharp$) の右辺第2項については

$\displaystyle \left\vert T_h-T_{h,N}\right\vert
=\left\vert h\sum_{\vert k\ver...
...right\Vert\sum_{\vert k\vert>N}\left\vert\textcolor{orange}{w}(kh)\right\vert.
$

ゆえに

$\displaystyle \left\vert I-T_{h,N}\right\vert\le
\left\Vert\textcolor{orange}{...
..._{\vert k\vert>N}\left\vert\textcolor{orange}{w}(kh)\right\vert
\right). \qed
$

$ \qedsymbol$

桂田 祐史