3.1.2 Euler-Maclaurinの定理

周期関数の一周期積分が台形公式でうまく計算できることは、 次の定理を用いることでひとまず説明できる。

Euler や MacLaurin は、 $\dsp\sum_{k=1}^n k^r$ ( $r=\pm1,\pm2,\dots$ ) や $\dsp\sum_{k=1}^n \log k$ を評価するためにこの公式を導出したが、 この文書の立場では、台形公式の誤差を表す公式と見ることが出来る。 $b-a$ が $f$ の周期であれば、$\sum$ が 0 になり、

   台形公式の誤差$$=I(f)-T_{n} =R_{m}=O\left(h^{2m+1}\right)$$

であることが期待される。

もっとも、具体的な問題に対して、この公式で誤差がどの程度になるかを 調べるのは難しい。