3.1 滑らかな周期関数の1周期の積分

まず、滑らかな周期関数の1周期の積分について。つまり $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ は滑らかで、ある正数 $T$ に対して、 $f(x+T)=f(x)$ ( $x\in\mathbb{R}$ ) が成り立つとき、

$$I=\int_a^b f(x)\;\Dx,\quad b-a=T$$

を計算する場合である。$f(a)=f(b)$ であるので、

$$T_N=h\left(\frac{1}{2}f(a)+\sum_{j=1}^{N-1}f(a+j h)+\frac{1}{2}f(b)\right) =h\sum_{j=1}^{N}f(a+j h)=h\sum_{j=0}^{N-1}f(a+j h)$$ (19)

であることに注意する。