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2.5 付録2: 三角関数についてのメモ

$ z=x+iy$ ($ x$, $ y\in\R$) とするとき、

  $\displaystyle \sin z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}
=\frac{1}{2i}(e^{-y}e^{ix}-e^{y}e^{-ix})$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2i}[e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^y(\cos x-i\sin x)]$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-i}{2}[(e^{-y}-e^y)\cos x+i(e^{-y}+e^y)\sin x]$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^y+e^{-y}}{2}\sin x+i\frac{e^y-e^{-y}}{2}\cos x$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \cosh y \sin x+i\sinh y \cos x.$

これから

$\displaystyle \vert\sin z\vert=$   ごしょごしょ$\displaystyle =\sqrt{\sinh^2 y+\sin^2x}.
$

ゆえに

$\displaystyle \sin z=0\quad\Iff\quad \sinh y=\sin x=0\quad\Iff\quad
y=0,\quad x\in \pi\Z
\quad\Iff z\in \pi\Z.
$

もっとも $ \sin z=0$ の解だけならば、次のようにする方が簡単である。

$\displaystyle \sin z=0\quad\Iff\quad \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0
\quad\Iff\quad e^{2zi}=1
\quad\Iff\quad 2z\in 2\pi\Z
\quad\Iff\quad z\in \pi\Z.
$

同様に

$\displaystyle \cos z=0\quad\Iff\quad \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0
\quad\Iff\quad ...
...i}=-1
\quad\Iff\quad 2z+\pi\in 2\pi\Z
\quad\Iff\quad z\in \frac{\pi}{2}+\pi\Z.
$

与えられた複素数 $ c$ に対して、方程式

$\displaystyle \sin z=c
$

の解集合はどうなるか?

まず解が存在するかどうか考えよう。 $ e^{iz}=\zeta$ とおくと、

$\displaystyle \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\zeta-\zeta^{-1}}{2i}
$

であるから、$ \sin z=c$ より

$\displaystyle \frac{\zeta-\zeta^{-1}}{2i}=c.
$

これから

$\displaystyle \zeta^2-2ic \zeta-1=0.
$

これは $ \zeta$ に関する $ 2$ 次方程式であり、確かに解 $ \zeta$ ($ \ne 0$) が存在する。

すると、$ z$ についての方程式

$\displaystyle e^{iz}=\zeta
$

$ \zeta\ne 0$ であるから、確かに解が存在する。実際

$\displaystyle e^{x+iy}=r e^{i\theta}
\quad\Iff\quad e^x=r\ $   かつ$\displaystyle \ e^{iy}=e^{i\theta}
\quad\Iff \quad x=\log r\ $   かつ$\displaystyle \ y\in\theta+2\pi\Z.
$

以上から $ \sin z=c$ は必ず解を持つことが分かった。

次に解がどれくらいたくさんあるか調べよう。

$\displaystyle \sin z=\sin z'=c
$

より

$\displaystyle 0=\sin z-\sin z'=2\cos\frac{z+z'}{2}\sin\frac{z-z'}{2}
$

となるから、

$\displaystyle \frac{z+z'}{2}\in\frac{\pi}{2}+\pi\Z$   or$\displaystyle \quad
\frac{z-z'}{2}\in\pi\Z.
$

すなわち

$\displaystyle \exists n\in\Z$   s.t.$\displaystyle \quad
z'=(\pi-z)+2n\pi$   or$\displaystyle \quad z'=z+2n\pi.
$

つまり、形だけは高校生も知っている恒等式

$\displaystyle \sin(\pi-z)=\sin z,\quad \sin(z+2n\pi)=\sin z
$

から得られる解がすべてだと言うことが分かる。

以上分かったことをまとめておこう。

\begin{jproposition}\upshape
複素変数の $\sin$, $\cos$\ について
\begin{enumera...
... \{(\pi-z_0)+2n\pi; n\in\Z\}.
\end{displaymath}\end{enumerate}\end{jproposition}




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Masashi Katsurada
平成14年11月29日