2.4 付録 1: 線形差分方程式

(ここに述べることは線形代数学の教科書に書いてあることが多い。探してみる こと。)

$\N_0\DefEq \N\cup \{0\}=\{0,1,2,\cdots\}$ とおく。

複素数列の全体 $\C^{\N_{0}}$ は自然な線型空間の構造を持つ。つまり、 数列 $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, $\{b_n\}_{n=0}^\infty\in \C^{\N_0}$, $\mu\in\C$ に対して、

$$\{a_n\}_{n=0}^\infty +\{b_n\}_{n=0}^\infty=\{a_n+b_n\}_{n=0}^\infty,\quad \mu \{a_n\}_{n=0}^\infty =\{\mu a_n\}_{n=0}^\infty$$

を和、スカラー乗法の定義とすることにより線型空間となる。

$m+1$ 個の定数 $\{c_i\}_{i=0}^m$ を定めて、 数列 $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ に対して、

$$c_0 a_n+c_1 a_{n+1}+\cdots+c_m a_{n+m}=0 \mbox{($n=0,1,2,\cdots$)}$$ (2.22)

という条件を考える。 (2.24) のことを線形差分方程式と呼ぶ。

線形差分方程式 (2.24) の解全体は、 $\C^{\N_0}$ の線形部分空間となることはすぐに分かるが、 その次元は $m$ であり、その基底は以下説明するようにして求めることができ る。

代数方程式

$$c_0 +c_1 \mu+c_2\mu^2+\cdots+c_m\mu^m=0$$

の根 $\mu$ に対して、数列

$$\{\mu^n\}_{n=0}^\infty$$

は線形差分方程式 (2.24) の解となること、さらには 相異なる根 $\mu_1$, $\cdots$, $\mu_r$ があるとき、 $r$ 個の数列

$$\{(\mu_i)^n\}_{n=0}^\infty$$   $$\mbox{($i=1,2,\cdots,r$)}$$

は線型独立であることも容易に確かめられる。

$a_n=\mu^n$ とおいて、 (2.24) に代入すると

$$c_0\mu^n+c_1\mu^{n+1}+\cdots+c_m\mu^{n+m}=0$$   $$\mbox{($n=0,1,2,\cdots$)}$$

となるが、これはただ一つの代数方程式

$$c_0+c_1\mu+\cdots+c_m\mu^m=0$$

と同値であることは明らかである。

若干面倒なのは重根を持つ場合で あるが、その場合は (以下略)