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2.3.6.0.3 証明

$ t=j k$とおく。補題 2.3.2 より、
  $\displaystyle \vert\cos \beta_{n}jk-\cos n\pi jk\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert\cos\left(\left(n\pi +O(n^3 h^2)\right)t\right)-\cos n\pi t\vert$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert O(n^3 h^2)t\vert$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle N^3 T\cdot O(h^2)$
    $\displaystyle \to$ 0   $\displaystyle \mbox{($h\to0$)}$

(ここで $ \cos(x+\Delta x)-\cos x=-\sin(x+\theta\Delta x)\Delta x$ より導かれる $ \vert\cos(x+\Delta x)-\cos x\vert\le \vert\Delta x\vert$ を用いた。)

補題 2.3.1, 補題 2.3.2 から、

  $\displaystyle \left\vert
\sin\beta_n k-\beta_n k
\right\vert$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{1}{6}\left\vert\beta_n k\right\vert^3
=O(n^3 h^3),$
  $\displaystyle \vert\beta_n - n\pi\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle O(n^3h^2)$

であるから、

$\displaystyle \left\vert
\sin\beta_n k- n\pi k
\right\vert
=O(n^3 h^2)+O(n^3h^2 k)=O(n^3 h^3).
$

$ h\to0$ならば、$ k\to0$となるので、

  $\displaystyle \left\vert k\frac{\sin \beta_{n}jk}{\sin \beta_{n}k}-\frac{\sin n\pi t}{n\pi}\right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k}
\left\vert
k n\pi \sin\beta_n t
-\sin\beta_n k \sin n\pi t
\right\vert$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k}
\left\vert
k n\pi \left[\sin(n\pi t)+O(n^3 h^2 t)\right]
-\left[n\pi k+O(n^3h^3)\right] \sin n\pi t
\right\vert$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k}
\left(
O(n^4 h^2 k t)+O(n^3h^3)
\right)$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sin\beta_n k} T N^3 \cdot O(h^3)\to 0$   $\displaystyle \mbox{($h\to0$)}$$\displaystyle .
\qed$


\begin{jlemma}\upshape
$\forall\lambda \in (0,1],\forall T>0$に対して
\begin{di...
...sin \beta_{n}jk}{\sin \beta_{n}k}\right\vert\leq T
\end{displaymath}\end{jlemma}


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Masashi Katsurada
平成14年11月29日