2.3.6.0.3 証明

$t=j k$とおく。補題 2.3.2 より、

$$\vert\cos \beta_{n}jk-\cos n\pi jk\vert = \vert\cos\left(\left(n\pi +O(n^3 h^2)\right)t\right)-\cos n\pi t\vert$$

$$= \vert O(n^3 h^2)t\vert$$

$$= N^3 T\cdot O(h^2)$$

$$\to \mbox{($h\to0$)}$$

(ここで $\cos(x+\Delta x)-\cos x=-\sin(x+\theta\Delta x)\Delta x$ より導かれる $\vert\cos(x+\Delta x)-\cos x\vert\le \vert\Delta x\vert$ を用いた。)

補題 2.3.1, 補題 2.3.2 から、

$$\left\vert \sin\beta_n k-\beta_n k \right\vert \le \frac{1}{6}\left\vert\beta_n k\right\vert^3 =O(n^3 h^3),$$

$$\vert\beta_n - n\pi\vert = O(n^3h^2)$$

であるから、

$$\left\vert \sin\beta_n k- n\pi k \right\vert =O(n^3 h^2)+O(n^3h^2 k)=O(n^3 h^3).$$

$h\to0$ならば、$k\to0$となるので、

$$\left\vert k\frac{\sin \beta_{n}jk}{\sin \beta_{n}k}-\frac{\sin n\pi t}{n\pi}\right\vert = \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k} \left\vert k n\pi \sin\beta_n t -\sin\beta_n k \sin n\pi t \right\vert$$

$$= \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k} \left\vert k n\pi \left[\sin(n\pi t)+O(n^3 h^2 t)\right] -\left[n\pi k+O(n^3h^3)\right] \sin n\pi t \right\vert$$

$$= \frac{1}{n\pi \sin\beta_n k} \left( O(n^4 h^2 k t)+O(n^3h^3) \right)$$

$$= \frac{1}{\sin\beta_n k} T N^3 \cdot O(h^3)\to 0 \mbox{($h\to0$)} . \qed$$