2.3.6.0.2 証明

$f(x)=\sin x-x$ をTaylor展開する。

$$\sin x-x=-\frac{1}{3!}x^3+\cdots=-\frac{f^{(3)}(\theta x)}{3!}x^3$$   $$\mbox{($0<\theta<1$)}$$

両辺の絶対値をとると、

$$\vert\sin x - x\vert \leq \frac{1}{6}\vert x\vert^3.$$ (2.19)

この不等式に $x=\beta_{n} k/2$, $x=n\pi/2$ を代入して、

$$\left\vert\sin \frac{\beta_{n} k}{2}-\frac{\beta_{n}k}{2}\right\vert \leq \frac{1}{6}\left(\frac{\beta_{n} k}{2}\right)^3,$$ (2.20)

$$\left\vert\sin \frac{n\pi h}{2} - \frac{n\pi h}{2}\right\vert \leq \frac{1}{6}\left(\frac{n\pi h}{2}\right)^3.$$

この式の両辺に$\lambda$をかけて、

$$\left\vert\lambda \sin \frac{n\pi h}{2} - \lambda \frac{n\pi h}{2} \right\vert \leq \frac{\lambda}{6}\left(\frac{n\pi h}{2}\right)^3$$ (2.21)

$\sin (\beta_{n} k/2)=\lambda \sin (n\pi h/2)$ に注意すると、 $(\ref{eq:評価式1})-(\ref{eq:評価式2})$ より、

$$\left\vert\frac{\beta_{n} k}{2}-\lambda \frac{n\pi h}{2}\right\ve... ...rac{\beta_{n} k}{2}\right)^3 +\lambda \left(\frac{n\pi h}{2}\right)^3 \right].$$

左辺に $\lambda=k/h$ を代入して、

$$\left\vert\frac{\beta_{n} k}{2}-\frac{n\pi k}{2}\right\vert \leq ... ...{\beta_{n} k}{2}\right)^3 +\frac{k}{h}\left(\frac{n\pi h}{2}\right)^3 \right].$$

ゆえに

$$\vert\beta_{n} - n\pi\vert \leq \frac{1}{3} \left(\frac{\beta_{n}... ...3\pi^3 h^2}{8} \right) =\frac{1}{24} \left(\beta_{n}^3 k^2+n^3\pi^3h^2 \right)$$

$\delta=1/N$ とおき、 $0<h\le \delta$ とすると、 補題 2.3.1 より $\beta_n\le n\pi/\lambda$ となるので、

$$\vert\beta_{n} - n\pi\vert \leq \frac{1}{24} \left(k^2 (n\pi/\lam... ...^2}{\lambda^3}\right) =\frac{n^3\pi^3}{24}h^2\left(1+\frac{1}{\lambda}\right).$$

ゆえに

$$C=\frac{\pi^3}{24} \left(1+\frac{1}{\lambda}\right)$$

とおけばよい。 $\qedsymbol$

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