5.6.0.0.1 線形安定性解析

$\lambda\in\C$ を ${\rm Re}\lambda<0$ なる定数として

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x'(t) &=& \lambda x(t) \quad\hb... ...in I\DefEq(a,+\infty)$)} \\ x(a) &=& x_0 \end{array}\right.$$

について適用してみる。この解は $x(t)=x_0 e^{\lambda t}$ であり、 $\dsp\lim_{t\to\infty}x(t)=0$ であるが、数値解法では

$\exists h_0>0$, $\exists h_1>0$ s.t. $\left\{ \begin{array}{l} \forall h>h_1\quad\dsp\lim_{j\to\infty}\vert x_j\v... ...\forall h<h_0 \quad \dsp\lim_{j\to\infty}\vert x_j\vert=0 \end{array} \right.$

ということも起こりうる。

1).

中点則. これはいわゆる中心差分商

$$x'(t)=\frac{x(t+h)-x(t-h)}{2h}$$

を用いて作った公式

$$\left\{ \begin{array}{l} x_{j+1}=x_{j-1}+2h f_j, \\ x_1\,\hbox{は適当に定める} \end{array}\right.$$

のことを指す。これは任意の $h>0$ に対して $\lim_{j\to\infty} \vert x_j\vert=+\infty$ を満たす。

2).

R-K 型公式. 公式の段数を $s$, 次数を $m$ とすると、

$$x_{j+1}=R(\lambda h)x_j$$

のように書ける。 ここで $R(z)$ は

$$R(z)=\frac{\mbox{$s$\ 次以下の多項式}}{\mbox{$s$\ 次以下の.. ...)-e^z\vert=O(\vert z\vert^m) \quad\mbox{($\vert z\vert\to 0$)}$$

なる $z$ の有理式である(特に公式が explicit の場合には $R(z)$ は $z$ の多項式になる)。例えば Euler 法の場合 $R(z)=1+z$, 古典的 Runge-Kutta 法の場合 $R(z) = 1+z +\Dfrac{z^2}{2} +\Dfrac{z^3}{3!} +\Dfrac{z^4}{4!}$. この $R(z)$ に対して

$${\cal R}\DefEq \left\{ z\in\C; \vert R(z)\vert<1 \right\}$$

を絶対安定領域といい、

$$\lambda h\in{\cal R} \Then \lim_{j\to+\infty}x_j=0$$

がなりたつ。絶対安定領域が左半平面 $\{z\in\C; {\rm Re}\;z<0\}$ を含むような 公式を A-安定 (A-stable) という。A-安定な公式では、 ${\rm Re}\;\lambda<0$ なるとき、任意の $h>0$ に対して数値解が $0$ に収 束する。次に示すのは Runge-Kutta 法の絶対安定領域である^5.5。

なお、後述の硬い方程式の項を参照せよ。

3).

LM 法. 公式

$$(\alpha_0-z\beta_0)x_j+ (\alpha_0-z\beta_1)x_{j+1}+\cdots (\alpha_0-z\beta_k)x_{j+k}=0$$

に対して特性方程式を

$$(\alpha_0-z\beta_0)+ (\alpha_0-z\beta_1)\xi+\cdots (\alpha_0-z\beta_k)\xi^k=0$$

で定義し、その根を $\xi_\ell(z)$ ( $\ell=1,\cdots,k$) とする。 この場合

$${\cal R}\DefEq\left\{z\in\C; \vert\xi_\ell(z)\vert<1\right\}$$

とおくと

$$\lambda h\in{\cal R}\Then \lim_{j\to\infty}x_j=0.$$