4.5.1.0.1 証明

$A=QR$ は

$$\Vector{a}_{k}=\sum_{i=1}^k r_{ik}\Vector{q}_i\quad\mbox{($k=1,2,\cdots,n$)}$$

と書ける。$k=1$ についての条件

$$\Vector{a}_1=r_{11}\Vector{q}_1$$

から

$$r_{11}=\vert r_{11}\vert=\frac{\Vert\Vector{a}_1\Vert}{\Vert\Vector{q}_1\Vert}=\Vert\Vector{a}_1\Vert,$$

$$\Vector{q}_1=\frac{\Vector{a}_1}{r_{11}}.$$

次に $k=2$ についての条件

$$\Vector{a}_2=r_{12}\Vector{q}_1+r_{22}\Vector{q}_2$$

から、まず $\Vector{q}_1$ との内積を取って、

$$r_{12}=\langle{\Vector{a}_1,\Vector{q}_1},{.}\rangle$$

これから

$$\Vector{v}_2\DefEq\Vector{a}_2-r_{12}\Vector{q}_1$$

は計算できて、

$$\Vector{v}_2=r_{22}\Vector{q}_2$$

であるから、

$$r_{22}=\vert r_{22}\vert=\frac{\Vert\Vector{v}_2\Vert}{\Ver... ...r{v}_2\Vert, \quad \Vector{q}_2=\frac{\Vector{v}_2}{r_{22}}.$$

以下 $k=3$, $\cdots$, $n$ と順に同様に計算できる。