4.5.1 正則行列の QR 分解

$A\in GL(n;\C)$ の列ベクトルを $\Vector{a}_1$, $\cdots$, $\Vector{a}_n$ とする:

$$A=(\Vector{a}_1 \ \Vector{a}_1 \ \cdots \Vector{a}_n).$$ (4.5)

この $\Vector{a}_1$, $\cdots$, $\Vector{a}_n$ を Gram-Schmidt の 直交化法して $\Vector{q}_1$, $\cdots$, $\Vector{q}_n$ を作る。 つまり

$$\Vector{v}_k \DefEq \Vector{a}_k-\sum_{i=1}^{k-1} \langl... ...{v}_k}{\Vert\Vector{v}_k\Vert} \quad\mbox{($k=1,2,\cdots,n$)}$$

として計算するわけだが、 中間変数 $r_{ik}$ ( $1\le i\le k\le n$) を導入して、 次のように書き換えておこう。

$$\Vector{v}_k \DefEq \Vector{a}_k-\sum_{i=1}^{k-1} r_{ik}\Vector{q}_i, \quad r_{ik}\DefEq\langle{\Vector{a}_k},{\Vector{q}_i}\rangle ,$$ (4.6)

$$\Vector{q}_k \DefEq \frac{\Vector{v}_k}{r_{kk}}, \quad r_{kk}\DefEq\Vert\Vector{v}_k\Vert \quad\mbox{($k=1,2,\cdots,n$)}$$ (4.7)

さて

$$Q\DefEq (\Vector{q}_1 \ \Vector{q}_2 \ \cdots \ \Vector{q}_... ...dots & \vdots \\ \bigzerol & & & r_{nn} \end{array} \right)$$

とおくと、$Q$ は unitary 行列で、

$$A=Q R.$$

ここまで $A$ は複素行列として計算してきたが、実行列である場合は、 $Q$, $R$ も実行列 (したがって $Q$ は実直交行列) である。

上の議論から任意の正則行列は QR 分解可能であることが分かったが、実はこ れは一意的である。