2.3.3 ベクトルと行列のノルム

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2.3.3 ベクトルと行列のノルム

$\begin{jdefinition} % latex2html id marker 677 [ベクトルのノルム]\upshape $\Ver... ... $\Vert x+y\Vert\le \Vert x\Vert+\Vert y\Vert$. \end{enumerate}\end{jdefinition}$

$\begin{jexample}\upshape \begin{displaymath} \Vert x\Vert _p=\left(\sum_{i=1}^... ...t x\Vert _2=\sqrt{\sum_{i=1}^N\vert x_i\vert^2}. \end{displaymath}\end{jexample}$

$\begin{jtheorem}[有限次元ベクトル空間のノルムの同値性]\upshape $K^N$\ の任意の.. ...math}従って、どのノルムで考えても、収束や連続性の概念は一致する。 \end{jtheorem}$

$\begin{jexample}\upshape $K^N$\ において \begin{displaymath} \Vert x\Vert _\in... ...y \le \Vert x\Vert _1 \le N\Vert x\Vert _\infty. \end{displaymath}\end{jexample}$
これを見るとが大きいときは、同値と言っても、かなり値が違い得ることが見てとれる。反復法の停止則や、誤差の見積もりをする際には、「どれでも同じ」などと素朴に考えることは出来ない。

$\begin{jdefinition}[行列の作用素ノルム]\upshape $K^N$\ のノルム $\Vert\cdot\Ver... ...us\{0\}} \frac{\Vert A x\Vert}{\Vert x\Vert}. \end{displaymath}\end{jdefinition}$

$\begin{jproposition} % latex2html id marker 707 \upshape \begin{enumerate} \rene... ...Vert A\Vert \Vert B\Vert$\ ($A, B\in M(K,N)$). \end{enumerate}\end{jproposition}$

以下ではにノルムを定めたとき、には必ず作用素ノルムをいれて考えることと約束する。

- 2.3.3.0.1 練習問題

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Masashi Katsurada
平成17年6月2日