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A.4 直交多項式の作る Strum 列

(ここは単なる覚え書き。後で肉付けするかもしれない。)

$w\colon [a,b]\to\R$ は連続で、有限個の点で $0$ になる他は正で、条件

\begin{displaymath}
\sup_{k\in\N}\int_a^b x^k w(x)\,\Dx<\infty
\end{displaymath}

を満たすような関数とする。このとき $[a,b]$ 上の実数値連続関数全体の集合に

\begin{displaymath}
(u,v)_w\DefEq \int_a^b u(x)v(x) w(x)\,\Dx
\end{displaymath}

で定義される内積を導入して、内積空間としたものを $H_w(a,b)$ とする。 また $(\cdot,\cdot)_w$ に付随するノルムを $\Vert\cdot\Vert _w$ と書く:

\begin{displaymath}
\Vert u\Vert _w=\sqrt{(u,u)_w}.
\end{displaymath}

自然数 $n$ に対して、関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ から Gram-Schimidt の 直交化法によって得られる直交多項式系を $\{p_0(x),p_1(x),
\cdots,p_n(x)\}$ とする。


\begin{jproposition}\upshape
$H_w(a,b)$\ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$\ ..
...数$=1$}
\right\}
=\Vert p_n/\mu_n\Vert _w.
\end{displaymath}\end{jproposition}


\begin{jproposition}\upshape
$H_w(a,b)$\ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$\ ..
...函p_n(x)$\ の根はすべて単根で、区間 $[a,b]$\ の内部にある。
\end{jproposition}


\begin{jproposition}\upshape
$H_w(a,b)$\ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$\ ..
...、$\lambda_k=(p_k,p_k)_w$, $\mu_k=$\ $p_k(x)$\ の最高次係数。
\end{jproposition}


\begin{jproposition}\upshape
$H_w(a,b)$\ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$\ ..
...)
\end{displaymath}は区間 $[a,b]$\ において Strum 列をなす。
\end{jproposition}


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Masashi Katsurada
平成17年6月2日