IEEE Standard 754

浮動小数点数については、IEEE（アメリカ電気電信技術者協会のこと）の規 格が、有名かつ重要である。特に 1985 年に公表された P754 という 2進浮動 小数点数演算規格は、現在のパソコン、ワークステーションのマイクロプロセッ サーに広く採用されているので、特に微妙な計算を必要とする場合は、規格を 学ぶ価値がある。この規格では、$\infty$ 等の NAN (not-a-number, 非数)、 不正規化数の導入、例外処理等の工夫がある。（もちろんデータの可搬性も保 証される。）

IEEE 単精度

指数 8, 仮数 24 最小の非正規数 1.401e-45 最小の正規数 1.175e-38 最大の数 3.403e+38 b31（符号 s）, b30..b23（指数 e）,b22..b0（仮数部 f） (implicit MSB があるので、仮数部は実質 24 bits) 正規数値 ($0 < e < 255$)

$$(-1)^s \times 2^{e-127} \times 1.f$$

非正規数値 ($e = 0$)

$$(-1)^s \times 2^{e-126} \times 0.f$$

符号つきの $0$ ($e = 0$)

$$(-1)^s \times 0$$

符号つきの $\infty$ ($e=255$)

$$s=u; e=255; f=.000\cdots000$$

非数 ($e=255$) シグナルを発生するもの

$$s=u; e=255; f=.0uuu\cdots uuu\quad\hbox{少なくとも $1$ bit は $0$ でない}$$

シグナルを発生しないもの

$$s=u; e=255; f=.1uuu\cdots uuu$$

IEEE 倍精度

指数 11, 仮数 53 最小の非正規数 4.941e-324 最小の正規数 2.225e-308 最大の数 1.798e+308 b63（符号 s）, b62..b52（指数 e）,b51..b0（仮数部 f） (implicit MSB があるので、仮数部は実質 53 bits) 正規数値 ($0 < e < 2047$)

$$(-1)^s \times 2^{e-1023} \times 1.f$$

非正規数値 ($e = 0$)

$$(-1)^s \times 2^{e-1022} \times 0.f$$

符号つきの $0$ ($e = 0$)

$$(-1)^s \times 0$$

符号つきの $\infty$ ($e=2047$)

$$s=u; e=2047; f=.000\cdots000$$

非数 ($e=2047$) シグナルを発生するもの

$$s=u; e=2047; f=.0uuu\cdots uuu \quad\hbox{少なくとも $1$ bit は $0$ でない}$$

シグナルを発生しないもの

$$s=u; e=2047; f=.1uuu\cdots uuu$$

NaN

- Not a Number の略。日本語では非数と訳される。

denormalized number （非正規数）

subnormal number の古い言い方。

subnormal number (非正規数)

この規格では、下駄ばき表現の指数が 0 になっている、ゼロでない浮動 小数点数のこと。

exception（例外）

算術例外とは、ある算術演算を試みた時に、一般的に受け入れられる結果 が生成されないことを意味する。

gradual underflow （漸近的アンダーフロー）

浮動小数点演算がアンダーフローした時、0 の代わりに非正規化数を返すこと。

IEEE 例外

大きい数×大きい数	+Inf	オーバーフロー
大きい数×(-大きい数)	-Inf	オーバーフロー
正数/0.0	+Inf	0 除算
負数/0.0	-Inf	0 除算
0.0/0.0	NaN	演算不可能
小さい数/大きい数	非正規化数	アンダーフロー
2.0/3.0	丸めが起こる	結果不正確

IEEE 拡張倍精度

指数 15, 仮数 64

IEEE 4 倍精度

指数 15, 仮数 113 最小の非正規数 6.475e-4966 最小の正規数 3.362e-4932 最大の数 1.190e+4932