5.9 おまけ -- 実際的な誤差の推測

急速に $\alpha$ に収束する列 $\{x_n\}_{n\in\N}$ があるとき、

$$\eps_n\DefEq=\Vert x_n-\alpha\Vert$$

で定義される誤差の大きさについて、十分先の番号 $n$ に対しては

$$\eps_{n+1} << \eps_n$$

が成り立つので、

$$\Vert x_n-x_{n+1}\Vert \le \Vert x_n-\alpha\Vert+\Vert x_{n+1}-\alpha\Vert = \eps_n+\eps_{n+1} \simeq \eps_n.$$

よって

$$\Vert x_n-x_{n+1}\Vert$$

を $x_n$ の誤差の大きさ $\eps_n$ の見積りとすることが出来る。

急速に収束しない列の場合はどうか？例えば $n$ を分割数とした時の差分 法の解 $u^{(n)}$ などでは、この仮定が成り立たないと思われる。 そういう場合は例えば

$$x_j \DefEq u^{(2^j)}$$

とすることによって、同じテクニックが使える。つまり例えば $n=512$ のと きの近似解と $n=1024$ の時の近似解の差の大きさを、$n=512$ の時の近似解 の誤差の大きさの見積りとすることが出来る。