E..1.2 不動点, 縮小写像に関する不動点定理

完備距離空間については Banach の不動点定理という重要な定理がある。

$(X,d)$ を距離空間とする。

写像 $T\colon X\ni x\mapsto Tx\in X$ について、 $x\in X$ が $T$の不動点であるとは、

$$Tx=x$$

が成り立つことをいう。

写像 $T\colon X\ni x\mapsto Tx\in X$ が縮小写像であるとは、

$$(\exists k\in [0,1)) (\forall x,y\in X)\quad d(Tx,Ty)\le k d(x,y)$$

が成り立つことをいう。

証明. 任意の $x_0\in X$ を選び、

$$x_{n+1}=T x_n$$   ( $n=0,1,\cdots$)

により $\left\{x_n\right\}_{n\ge 0}$ を定める。

Step 1     任意の $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ に対して

$$d(x_n,x_{n+1})\le k^n d(x_0,x_1)$$ (E.1)

が成り立つ。実際、

(i)

$n=0$ のとき、(E.1) の左辺 $=$ (E.1) の右辺であるから、(E.1) が成立する。

(ii)

$n=j$ のとき (E.1) 成り立つ、 すなわち $d(x_j,x_{j+1})\le k^j d(x_0,x_1)$ が成り立つと仮定すると

$$d(x_{j+1},x_{j+2})=d(T x_j,T x_{j+1})\le k d(x_j,x_{j+1}) \le k\cdot k^j d(x_0,x_1)=k^{j+1}d(x_0,x_1).$$

すなわち $n=j+1$ のときも (E.1) が成り立つ。

数学的帰納法により、(E.1) は任意の $n\ge 0$ について成り立つ。

Step 2     $\left\{x_n\right\}_{n\ge 0}$ は $X$ における Cauchy 列である。 実際、 $n,m\in\mathbb{N}$, $n>m$ とするとき

$$d(x_m,x_n) \le d(x_m,x_{m+1})+d(x_{m+1},x_{m+2})+\cdots+d(x_{n-1},x_n)$$

$$=\sum_{j=0}^{n-m-1}d(x_{m+j},x_{m+j+1})$$

$$\le\sum_{j=0}^{n-m-1}k^{m+j}d(x_{0},x_{1}) =k^m d(x_0,x_1)\sum_{j=0}^{n-m-1}k^j =k^m d(x_0,x_1)\frac{1-k^{n-m}}{1-k}$$

$$\le\frac{k^m}{1-k} d(x_0,x_1).$$

$m>n$ のときは

$$d(x_m,x_n)\le\frac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1).$$

一般に、任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対して

$$d(x_m,x_n)\le \frac{k^{\min\{n,m\}}}{1-k}d(x_0,x_1)$$

が成り立つ。ゆえに $\left\{x_n\right\}_{n\ge 0}$ は Cauchy列である。

Step 3     $X$ は完備であるから、 ある $x_\infty\in X$ が存在して、

$$\lim_{n\to\infty}x_n=x_\infty.$$

これから

$$0\le d(x_\infty,Tx_\infty)=\lim_{n\to\infty}d(x_n,x_{n+1})=0.$$

ゆえに $d(x_\infty,T x_\infty)=0$. ゆえに $Tx_\infty=x_\infty$. これは $x_\infty$ が $T$ の不動点であることを意味する。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

さて、 $T\colon X\to X$, $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ に対して、 $T^n\colon X\to X$ を以下のように帰納的に定める。

$$T^0 x=x$$   ($x\in X$)$$,$$

$$T^{i}x=T(T^{i-1} x)$$   ( $i\in\mathbb{N}$)$$.$$

縮小写像の定理の系として得られる次の定理は非常に役立つ。

手品のような証明という印象がある。

証明. $T^m$ は縮小写像なので、$T^m$ の不動点 $x^\ast$ が存在する。すなわち

$$T^m(x^\ast)=x^\ast.$$

このとき

$$T^{m}(T x^\ast)=T^{m+1}x^\ast=T(T^m x^\ast)=Tx^\ast$$

であるから、$T x^\ast$ は $T^m$ の不動点である。 $T^m$ の不動点の一意性から

$$T x^\ast=x^\ast$$

である。これは $x^\ast$ が $T$ の不動点であることを表わす。 $T$ の不動点は $T^m$ の不動点でもあるから、 $T^m$ の不動点の一意性から $T$ の不動点の一意性が導かれる。

任意の $x_0\in X$ を取って、

$$x_{n+1}=T x_n$$

で点列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を定める。各 $r\in\{0,1,\cdots,m-1\}$ に対して、 この点列の部分列 $\{x_{mj+r}\}_{j\in\mathbb{N}}$ を考えると、 これは $x_r$ を初期値として、漸化式

$$x_{m(j+1)+r}=T^m(x_{mj+r})$$

で作った点列である。$T^m$ が縮小写像であることから、これは $T^m$ の唯一の不動点 $x^\ast$ に収束する:

$$\lim_{j\to\infty}x_{mj+r}=x^\ast.$$

任意の $r$ に対してこれが成り立つことから、

$$\lim_{n\to\infty}x_n=x^\ast. \qed$$

$\qedsymbol$