C..2.2 特性方程式, 特性根

微分方程式 $y''+p y'+q y=0$ に対して、2次方程式

$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$

を微分方程式の特性方程式 (charasteristic equation), 特性方程式の根を特性根 (characteristic root) とよぶ。

$y=e^{\alpha x}$ ならば、

$$y' =\alpha e^{\alpha x},$$

$$y'' =\alpha^2 e^{\alpha x}$$

であるから、

$$y''+p y'+q y=(\alpha^2+p\alpha+q)e^{\alpha x}=0\cdot e^{\alpha x}=0.\qed$$

$y=A y_1+ B y_2$ より

$$y' = A y_1'+ B y_2 ',$$

$$y'' = A y_1''+ B y_2''$$

であるから

$$y''+p y'+q y=A(y''+p y'+q y)+B(y''+p y'+q y)=A\cdot 0+B\cdot 0=0. \qed$$

上の二つの補題から、 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ の 2 根を $\alpha$, $\beta$ とするとき、

$$y=A e^{\alpha x}+B e^{\beta x}$$   $$\mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$

は (C.11) の解であることが分かる。

実は $\alpha\ne \beta$ の場合、 (C.11) の解は (C.12) 以外にないことが示せる。 一方、 $\alpha=\beta$ の場合にはもう一工夫必要である。 順番に考察していこう。