1.2.1 基礎事項

を Banach 空間、をの開集合、 $f\colon U\to X$ を Fréchet 微分可能な写像とするとき方程式

(1.3)

$\displaystyle f(x)=0$

を考える。適当な $x_0\in U$ を取って漸化式

(1.4)

$\displaystyle x_{k+1}=x_k - \left(f'(x_k)\right)^{-1}f(x_k)$

で列 $\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ を生成したとき、これが極限 $x_\infty$ を持つことがある。このとき $x_\infty$ は (1.3) の解となる。

以下 $\left(f'(x_k)\right)^{-1}$ のことを $f'(x_k)^{-1}$ と書く。

そこで十分大きな番号を取って、を (1.4) の近似解として採用する方法が考えられるが、それを Newton 法と呼ぶ。形式的には

$\displaystyle F(x):= x-f'(x)^{-1} f(x)$

で定められる

の不動点を反復法で求めていることになる^1.1。

$\begin{jremark}[Newton 法という名前について] Newton が $3$ 次方�... ...by{ラフソン}{Raphson} 法と呼ばれることが多い。\qed \end{jremark}$

$\begin{jremark} % latex2html id marker 107 [準 Newton 法] $f$ の値の計�... ... Newton 法などと呼ぶ。これは線形収束となる。\qed \end{jremark}$

$\begin{jdefinition}[$p$ 次収束] $p\ge 1$ に対して、 $\{x^{(k)}\}_{k\i... ...� $1$ 次収束} (superlinear convergence) するという。 \end{jdefinition}$

線形収束の場合、

$\displaystyle \Vert x^{(k)}-a\Vert\le L^{k}\Vert x^{(0)}-a\Vert$

が成り立つ。つまり等比数列的 (あるいは指数関数的) に収束するわけである。

$\begin{jtheorem}[Newton] $\Omega$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合、 $f\colon... ...rt a-x_{k}\Vert^2\quad\mbox{($k\in\mathbb{N}$)}. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

証明. (概略)

は

-級で、

と仮定すると、十分

に近い

に対して

$\displaystyle x_{k+1}-a$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[x_k-f'(x_k)^{-1}f(x_k)\right]-a$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_k-a-f'(x_k)^{-1}f(x_k)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_k-a-f'(x_k)^{-1}\left(f(x_k)-f(a)\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_k-a-f'(x_k)^{-1} \left[f'(x_k)(x_k-a)-O\left((a-x_k)^2\right)\right]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle O\left((a-x_k)^2\right).$

詳しくは例えば山本 [19] を見よ。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

重根の場合は収束の速さが線形収束になり (つまり「収束が遅い」)、実際の数値計算で得られる最終的な精度も低い。

$\begin{jremark} 上の定理では舞台を $\mathbb{R}^n$ としたが、Bana... ...��のだが、 Schwartz \cite{Schwartz} も見ておこう。 \qed \end{jremark}$

Subsections

微積分の演習問題から

桂田祐史