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微積分の演習問題から

次の命題は微積分の演習書によく登場する。


\begin{jproposition}[凸関数の Newton 法] $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ が ... ...\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty}x_n=s. \end{displaymath}\end{jproposition}

証明. (それなりに長い)
  1. (存在) $ f(s)=0$ となる $ s\in(a,b)$ が存在することは中間値の定理から分かる。
  2. (一意性)

    $\displaystyle f(s_1)=f(s_2)=0,\quad a<s_1<s_2<b $

    を満たす $ s_1$, $ s_2$ が存在したと仮定すると、Rolle の定理から

    $\displaystyle \exists z\in (s_1,s_2)$   s.t.$\displaystyle \quad f'(z)=0. $

    仮定 $ f''>0$ から、
          $\displaystyle f'<0$   $\displaystyle \mbox{($(a,z)$ 内で)}$% latex2html id marker 6663 $\displaystyle \quad\therefore f(a)>f(s_1)=0,$
          $\displaystyle f'>0$   $\displaystyle \mbox{($(z,b)$ 内で)}$% latex2html id marker 6667 $\displaystyle \quad\therefore f(b)>f(s_2)=0.$

    これは $ f(a)f(b)<0$ に反する。 ゆえに $ f(s)=0$ となる $ s$ は unique である。
  3. (Newton 法の収束) 以下、$ f(b)>0$ の場合に $ x_0=b$ を初期値とする Newton 法が収束すること を示す ($ f(a)>0$ の場合も同様にできる)。$ f(x)=0$ の unique な解を $ s$ と すると、

    (1.5) $\displaystyle f(x)>0$   $\displaystyle \mbox{($x\in (s,b]$)}$$\displaystyle ,$

    (1.6) $\displaystyle f'(x)>0$   $\displaystyle \mbox{($x\in [s,b]$)}$

    が成り立つ。
$ \qedsymbol$


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桂田 祐史