1.2.1.0.0.2 (1.6) の証明

まず $f(s)=0$, $h>0$ のとき $f(s+h)>0$ であるから、

$$f'(s)=\lim_{h\downto 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}\ge 0.$$

ところが、もし $f'(s)=0$ ならば $f''>0$ より、 $f'(x)<0$ ($x\in(a,s)$). ゆえに $f(a)>f(s)=0$. これは矛盾であるから $f'(s)\ne 0$. ゆえに $f'(s)>0$. 仮定 $f''>0$ から (1.6) が導かれる。 $\qedsymbol$

　さて、

$$x_0=b,\quad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

で数列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を決めようとするわけであるが、 次の不等式が成り立つことが分かれば、 $\{x_n\}$ は well-defined で、 $s$ を下界とする単調減少数列であることが分かる。

$$x\in(s,b]\quad\Then\quad s<x'<x, \quad x':= x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}.$$ (1.7)