2.2.4 DK 法 -- Kerner の解釈

, $\cdots$ ,

の

次基本対称式 (

個の積全体の和) を $S_s(X_1,\cdots,X_n)$ とおく:

$\begin{jtheorem} % latex2html id marker 648 [Kerner 1966] Durand の反復 (\re... ...、それを Newton 法で解く反復計算に他ならない。 \end{jtheorem}$

証明. まず

$\displaystyle \xi= \left( \begin{array}{c} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots\\ ... ..._1,\cdots,\xi_n) \\ \vdots \\ f_n(\xi_1,\cdots,\xi_n) \end{array} \right)$

とおき、

$\displaystyle J=f'(\xi),\quad Q=(q_{is}(\xi))=J^{-1}$

とすれば、

$\displaystyle x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}-\sum_{s=1}^nq_{is}(x^{(k)}) f_s(x^{(k)}),$

ただし

$\displaystyle x^{(k)}=\left( \begin{array}{c} x_1^{(k)} \\ x_2^{(k)} \\ \vdots \\ x_n^{(k)} \end{array} \right)$

とおいた。

ところで $S_s(\cdot)$ の定義から、についての恒等式

$\displaystyle \prod_{i=1}^n (x-x_i^{(k)}) =x^n+\sum_{s=1}^n(-1)^s S_s(x_1^{(k)},\cdots,x_n^{(k)})x^{n-s}$

が得られる。この式を $x_i^{(k)}$ について偏微分して、 $x=x_i^{(k)}$ とおくと、

$\displaystyle -\prod_{j\ne i}\left(x_i^{k}-x_j^{(k)}\right)$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \sum_{s=1}^n (-1)^s \frac{\rd S_s}{\rd \xi}$ (途中)

(書きかけ) 与えられた

, $\cdots$ ,

に対して

$\displaystyle \prod_{j=1}^n\left(x-z_j\right)=Q(x)=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0$

とおくと、

	$\displaystyle \frac{\rd Q}{\rd z_j}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\frac{\rd b_{n-1}}{\rd z_j}\right)x^{n-1} +\cdots+\left(\frac{\rd b_1}{\rd z_j}\right)x +\left(\frac{\rd b_0}{\rd z_j}\right)$
		$\displaystyle =$	$\displaystyle -(x-z_1)\cdots(x-z_{j-1})(x-z_{j+1})\cdots(x-z_n).$

また根と係数の関係

$\displaystyle b_{n-k}=(-1)^{k} S_k(z_1,\cdots,z_n)$

が成り立つ。ここで

とおくと、 $-Q'(z_i)\delta_{ij}$ となるから、

$\displaystyle \left( -\frac{z_i^{n-1}}{Q'(z_i)},\cdots,-\frac{z_i}{Q'(z_i)},-\frac{1}{Q'(z_i)} \right)$

は $J(z)^{-1}=\left(\rd b_{n-i}/\rd z_j\right)^{-1}$ の第

行と一致する。ゆえに $J(z)^{-1}f(z)$ の第

成分は

		$\displaystyle \frac{-z_i^{n-1}}{Q'(z_i)}(b_{n-1}-a_{n-1})-\cdots -\frac{1}{Q'(z_i)}(b_0-a_0)$
		$\displaystyle \qquad =-\frac{z_i^n}{Q'(z_i)}(b_n-a_n)-\frac{z_i^{n-1}}{Q'(z_i)}(b_{n-1}-a_{n-1}) -\frac{1}{Q'(z_i)}(b_0-a_0)$
		$\displaystyle \qquad=\frac{-Q(z_i)+P(z_i)}{Q'(z_i)}=\frac{P(z_i)}{Q'(z_i)}.$

ゆえに ... の各成分を比較して ... を得る。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\begin{jcorollary} 代数方程式の根がすべて相異なるとき、DK 法は根に十分近いところで 2 次の収束となる。 \end{jcorollary}$