2.6.1 行列式の計算

行列式を計算したい場合にも、 LU 分解はしばしば最も効率的な計算法となる。

$A$ が単位下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積に分解できたとする:

$$A=L U,\quad L=\left( \begin{array}{ccc} 1 & & \bigzerou\\ & ... ...u_{11} & & \ast\\ & \ddots & \\ \bigzerol & & u_{nn} \end{array} \right).$$

このとき

$$\det A=\det(LU) =\det L \det U=1\cdot\prod_{i=1}^n u_{ii}=\prod_{i=1}^n u_{ii}.$$

2.5 の例では、

$$\det A=2\cdot(-2)\cdot(-5)=20.$$

(補足: 対角線の下の掃き出しをするのに行の交換が必要だった場合。 $PA=LU$, $P$ は置換行列で $\det P=(-1)^\ell$ ($\ell$ は行交換の回数) ということなので、 $\det A=(-1)^\ell\det U=(-1)^\ell\dsp\prod_{i=1}^n u_{ii}$.)