(i) $\Then$ (ii)

$R(A)$ が閉集合ならば、$R(A^\ast)$ も閉集合である。 そこで

$$\widetilde A\colon R(A^\ast)\ni x\longmapsto A x\in R(A)$$

を考えると、次の (a), (b), (c) が成り立つ。

(a)

$R(A)$ , $R(A^\ast)$ はそれぞれ $Y$ , $X$ の閉線型部分空間として Banach 空間である。

(b)

$\widetilde A$ は上への写像である。 実際、 $\forall a\in R(A)$ に対して、 $A x=a$ となる $x\in X$ があるが、$x$ を $x=y+z$ ( $y\in \overline{R(A^\ast)}= R(A^\ast)$ , $z\in N(A)$ )と分解すると、 $A x=A y+A z=A y+0=A y$ なので、 $a=A y=\widetilde A y$ .

(c)

$\widetilde A$ は 1 対 1 である。 実際、 $x\in R(A^\ast)$ , $\widetilde A x=0$ とすると、 $A x=0$ より $x\in R(A^\ast)\cap N(A)=\{0\}$ なので $x=0$ .

ゆえに値域定理から、 $\widetilde A$ は連続な逆を持つ。 よって $\forall x\in R(A^\ast)$ につき、

$$\Vert x\Vert=\left\Vert\widetilde A^{-1} \widetilde A x\right\Ver... ...lde A x\right\Vert = \left\Vert\widetilde A^{-1}\right\Vert\, \Vert A x\Vert.$$

ゆえに $k=\left\Vert\widetilde A^{-1}\right\Vert^{-1}$ とすれば

$$\Vert A x\Vert\ge k\Vert x\Vert. \qed$$