(ii)$\Then$ (i) の証明

(ii) が成り立っているとする。上に述べた注意から

$$\forall x\in\overline{R(A\ast)}\quad \Vert A x\Vert\ge k\Vert x\Vert.$$

$\{x_n\}$ が $x_n\in X$ , $A x_n\to a$ in $Y$ を満たすとき、 $a\in R(A)$ を示そう。

$$x_n=y_n+z_n,\quad y_n\in \overline{R(A^\ast)},\quad z_n\in N(A)$$

と分解できる。 $A x_n=A y_n+A z_n=A y_n+0=A y_n$ であるから、 $A x_n-A x_m=A(y_n-y_m)$ であり、

$$\Vert A x_n-A x_m\Vert= \Vert A(y_n-y_m)\Vert\ge k\Vert y_n-y_m\Vert.$$

これから $\{y_n\}_{n\in\N}$ は Cauchy 列であるから、 極限 $y=\dsp\lim_{n\to\infty}y_n$ が存在する。 このとき、

$$A y=\lim_{n\to\infty} A y_n=\lim_{n\to\infty} A x_n=a.$$

ゆえに $a\in R(A)$ . $\qedsymbol$