B..4 直交多項式の作る Strum 列

(ここは単なる覚え書き。後で肉付けするかもしれない。)

$w\colon [a,b]\to\R$ は連続で、有限個の点で 0 になる他は正で、条件

$$\sup_{k\in\N}\int_a^b x^k w(x)\,\Dx<\infty$$

を満たすような関数とする。このとき $[a,b]$ 上の実数値連続関数全体の集合に

$$(u,v)_w:= \int_a^b u(x)v(x) w(x)\,\Dx$$

で定義される内積を導入して、内積空間としたものを $H_w(a,b)$ とする。 また $(\cdot,\cdot)_w$ に付随するノルムを $\Vert\cdot\Vert _w$ と書く:

$$\Vert u\Vert _w=\sqrt{(u,u)_w}.$$

自然数 $n$ に対して、関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ から Gram-Schimidt の 直交化法によって得られる直交多項式系を $\{p_0(x),p_1(x), \cdots,p_n(x)\}$ とする。