11.1.1 行列についての色々な同値関係

1. $A,B\in M(n;\C)$ に対して、
   $$A\sim_s B\quad \DefIff\quad \exists U\in U(n;\C)$$   s.t.$$\quad U^\ast A U=B\quad(U^{-1}A U=B).$$
   代表元としては Schur 標準形というのか？上三角に出来る (もとが対称であれば対角行列に出来る)。
   実数バージョンもある。
2. (今回は関係ない) $A,B\in M(n;\C)$ に対して、
   $$A\sim_{\text{特}}B \DefIff \exists U_1,U_2\in U(n;\C)\quad\text{s.t.}\quad U_2^\ast A U_1=B.$$
   特異値分解に対応。
3. $A,B\in M(n;\C)$ に対して、
   $$A\sim_s B$$   ($A$ と $B$ は相似)$$\DefIff \exists P\in GL(n;\C)$$   s.t.$$\quad P^{-1}A P=B.$$
   代表元としては Jordan 標準形が有名。実数の範囲で考えると、 有理標準形とかいうのになる？
   「基底の取り替えでなるべく簡単な行列にする」
4. $A$ と $B$ が $n$ 次の実対称行列とするとき、
   $$A\sim_c B$$   ($A$ と $B$ は合同)$$\DefIff \exists P\in GL(n;k)$$   s.t.$$\quad P^T A P=B.$$
   代表元として $\diag(\overbrace{1,\cdots,1}^p,\overbrace{-1,\cdots,-1}^q, 0,\cdots,0)$ が取れる。 伊理先生は ``Sylvester 形'' と呼んでいた。 これは符号数 $(p,q)$ で指定できることに注意。
   「2次形式を正則線形変換で平方完成 (対角化) する」
   Hermite 行列版がある。
5. $k=\R$ or $\C$ とする。 $A,B\in M(n;k)$ に対して、 $A\sim_r B$ $\DefIff$ $\exists P,Q\in GL(n;k)$ s.t. $Q A P=B$ .
   代表元として $\diag(\overbrace{1,\cdots,1}^{r},0,\cdots,0)$ が取れる ($1$ の個数 $r$ は実は $\rank A$ に等しい, 伊理先生はこの代表元を「階数標準形 (rank normal form) と呼んでおく」)。

実対称行列や Hermite 行列に対して、 直交変換や unitary 変換で相似変換する話は、 1, 3, 4 にまたがっている話になる。

2 はある意味で 1 を緩くしたものである。

3, 4 もある意味で 1 を緩くしたものである。 $U\in U(n)$ を $G\in GL(n)$ に変えるのだが、そのときに $U^\ast(=U^{-1})$ を $P^T$ にするか、$P^{-1}$ にするか。

5 はとても緩い。 例えば実対称行列について、$A\sim_c B$ $\THEN$ $A\sim_r B$ .

そうか、実対称行列について、 直交変換に限った 1 (あるいは3) をして、 一般の正則線形変換で 4 をして、 それから 5 をして、 ということで、標準形が、

$$\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\quad \left\{ \begin{array}{ll... ...1\le j\le p+q$)}\\ \lambda_j=0 & \text{($p+q< j\le n$)} \end{array} \right.$$

から

$$\diag(\overbrace{1,\cdots,1}^p,\overbrace{-1,\cdots,-1}^q,0,\cdots,0)$$

を通じて

$$\diag(\overbrace{1,\cdots,1}^{\rank A},0,\cdots,0)$$

となるわけだ。もう $p+q=\rank A$ は当たり前に見えて来る。

書くとすごくゴチャゴチャしている感じがするけれど、 頭の中でやると訳が分からなくなるのは仕方ないのが分かる。

絵的に書くと

$$Q^T A Q=B\quad\THEN\quad P^T A P=B\quad\THEN\quad Q A P=B.$$

$$A\sim_s \diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \sim_c \diag(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0) \sim_r \diag(1,\cdots,1,0,\cdots,0).$$