Rump の記号

$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ を表す。

複素数 $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$ ( $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}$) に対して、

$$z_1\le z_2\quad\DefIff\quad x_1\le x_2\AND y_1\le y_2$$

と定義する ($z_2$ は $z_1$ の右上にある)。

$\mathbb{F}$

$a,b\in\mathbb{K}$, $a\le b$ に対して、

$$[a,b]=\left\{x\in\mathbb{K}\relmiddle\vert a\le b\right\}.$$

($a=b$ の場合、すなわち点区間の場合も考えることに注意せよ。) この形の集合を区間と呼ぶ。

$\bm{x}$ が区間であるとき、

$$\mathop{\mathrm{mid}}\nolimits (\bm{x}):=\frac{1}{2}\left(\overli... ...rm{rad}}\nolimits (\bm{x}):=\frac{1}{2}\left(\overline{x}-\underline{x}\right)$$

とおき、 $\mathop{\mathrm{mid}}\nolimits (\bm{x})$ を区間 $\bm{x}$ の中点 (midpoint), $\mathop{\mathrm{rad}}\nolimits (\bm{x})$ を区間 $\bm{x}$ の半径 (radius) と呼ぶ。ただし、 $\bm{x}=\left[\underline{x},\overline{x}\right]$ とする。

$c\in\mathbb{K}$, $r\in\mathbb{R}$, $r\ge 0$ に対して、

$$\langle c,r\rangle=\left\{x\in\mathbb{K}\relmiddle\vert \left\vert x-c\right\vert\le r\right\}$$

$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ の場合は、$[a,b]$ も $\langle c,r\rangle$ も $\mathbb{R}$ の閉区間を表す。

$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ の場合は、$[a,b]$ は複素平面内の (実軸、虚軸に平行な辺を持つ) 長方形、 $\langle c,r\rangle$ は複素平面内の閉円盤を表す。

Rump [5] では、全面的に $\langle c,r\rangle$ を用いている。

$\mathbb{IR}=\left\{[a,b]\relmiddle\vert a,b\in\mathbb{R}, a\le b\right\}$

$\mathbb{IF}=\left\{[a,b]\relmiddle\vert a,b\in\mathbb{F}, a\le b\right\}$

$\bm{A}\in\mathbb{IR}^{n\times n}$, $\bm{b}\in\mathbb{IR}^n$ のとき、 区間連立１次方程式 $\bm{A}\bm{x}=\bm{b}$ の解集合を次のように定義する。

$$\Sigma\left(\bm{A},\bm{b}\right) =\left\{\tilde x\relmiddle\vert... ...de A\in\bm{A}) (\exists \tilde b\in\bm{b}) \tilde A\tilde x=\tilde b\right\}.$$