子供向けの理科の本には素晴らしいものが多い、と思っています 6。 自分が小学生の頃に読んだ
なぜなぜ理科学習漫画 全12巻, 集英社 (19..)など7、 深く印象に残った本が色々あります。 最近見た
ニューワイドずかん百科 科学, 学研 (2006)もなかなか楽しい本です。 その p.47「音をアート作品にする」に目が止まりました。 クラドニ図形 (Chladni figure) の紹介です。 そこには彫刻家である金沢健一氏の不思議な作品 -- それは 正方形や円形をした金属版の上に砂を撒き、 金属版をスーパーボールでこすって振動させることで、 砂が描く不思議なパターンの写真が載っています (「金沢健一」でググると色々ヒットしますので、 お試しを -- いつまで残っているかわかりませんが 1つだけ URL を紹介しておくと、 http://homepage.mac.com/mfukuda2/aiga67/aiga67.html)。 それはクラドニ図形と呼ばれる、という意味のことが書いてありました。
見た瞬間、ラプラシアンの固有関数の ふしのせん節線 (nodal line) であると思いました。
Wikipedia やウィキペディアによると8、 Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827) は、 ドイツの物理学者で、 (今では当り前に受け入れられている) 隕石が宇宙からやって来ることを唱えたこと、 また音響学への貢献で有名だ、ということです (今回知るまでは全然知りませんでした)。
ネットで検索してみたら、すぐに YouTube に 実験の様子の動画がたくさんアップロードされていることを知りました (例えば ''Sound Waves'')。
Chladni 本人は、1787 年の著作『音響理論の発見』 [2] に、 多くの図版を載せています (http://greg.org/archive/2008/05/28/chladni_figures.html など)。
実験をするのは、残り時間も少ないことだし、 難しいかもしれないと思いましたが、 このような参考データがあるならば卒研テーマにしても大丈夫だろう、 と考えました。
…これを実験テーマにすることに関して、 25年前の私 (院生だった) だったら、 「それはラプラシアンの固有関数の節線であろう、 そういう当り前のことを確認するのはばかばかしい」 と言ったかも知れません。 でも当時先輩から何度もさとされたように、 「やってみないと分からない」 ことがあるものです。実際に学生に取り組んでみてもらって、 現在は「本当に固有関数の節なのかな?」とむしろ疑いも感じるようになっています。 さらに15年さかのぼって小学生の頃の自分に戻ると、 本に書いてあることを確認する実験も嬉嬉としてやっていました (それで時々、意外なことに遭遇しました)。 そういう素朴なノリで数学的なことが出来るのは面白い、と思っています。 学生にとって、ラプラシアンの固有値問題と言うのは、 波動方程式・熱方程式を Fourier の方法で解くために出て来る方便のような ところがあります。 それ自身が我々の眼前に登場しうることを強調してみたいです。
正方形領域 における Dirichlet 境界条件 下の Laplacian について、
の固有値の重複度については、 以下のことを知識として知っていました。
の形をしている。
正方形領域では実のところどうなのか、調べたことはありませんでした。 純粋に整数論的な話であり、有限の範囲ではしらみつぶしで調べられます。 書き捨てのプログラム http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/open/square-eigenvalue2.cで調べたところ
2 1 :(1,1) 5 2 :(1,2),(2,1) 8 1 :(2,2) 10 2 :(1,3),(3,1) 13 2 :(2,3),(3,2) 17 2 :(1,4),(4,1) 18 1 :(3,3) 20 2 :(2,4),(4,2) 25 2 :(3,4),(4,3) 26 2 :(1,5),(5,1) 29 2 :(2,5),(5,2) 32 1 :(4,4) 34 2 :(3,5),(5,3) 37 2 :(1,6),(6,1) 40 2 :(2,6),(6,2) 41 2 :(4,5),(5,4) 45 2 :(3,6),(6,3) 50 3 :(1,7),(5,5),(7,1) 52 2 :(4,6),(6,4) 53 2 :(2,7),(7,2) 58 2 :(3,7),(7,3) 61 2 :(5,6),(6,5) 65 4 :(1,8),(4,7),(7,4),(8,1) 68 2 :(2,8),(8,2) 72 1 :(6,6) 73 2 :(3,8),(8,3) 74 2 :(5,7),(7,5) 80 2 :(4,8),(8,4) 82 2 :(1,9),(9,1) 85 4 :(2,9),(6,7),(7,6),(9,2) 89 2 :(5,8),(8,5) 90 2 :(3,9),(9,3) 97 2 :(4,9),(9,4) 98 1 :(7,7) 100 2 :(6,8),(8,6) 101 2 :(1,10),(10,1) 104 2 :(2,10),(10,2) 106 2 :(5,9),(9,5) 109 2 :(3,10),(10,3) 113 2 :(7,8),(8,7) 116 2 :(4,10),(10,4) 117 2 :(6,9),(9,6) 122 2 :(1,11),(11,1) 125 4 :(2,11),(5,10),(10,5),(11,2) 128 1 :(8,8) 130 4 :(3,11),(7,9),(9,7),(11,3) 136 2 :(6,10),(10,6) 137 2 :(4,11),(11,4)(以下略) |