23.3 数値等角写像で Green 関数を近似計算してみる

Jordan 領域 $\Omega$ の写像関数関数 $\Phi$ ( $\Phi\colon\Omega\to D(0;1)$ が双正則ということ) を用いると、 $\Omega$ における $-\Laplacian$ の Green 関数は

$$G(x,y)=$$

実は一般の領域で Green 関数を求めることは骨が折れる作業なのだが、 写像関数があればこのように簡単であるので、 Green 関数を近似計算するために、 数値等角写像を用いるのは面白い応用であると思われる。

以下で説明するように、Green 関数は (存在だけは一般に証明できるので、 それを用いた) 抽象的な利用法しかないと思われがちなので、 良い精度を持った Green 関数が求められると、 意外な使い道が見つかるかも知れない… (取らぬ狸の皮算用？)