3 差分方程式

計算手続きの基本的な考え方は熱方程式の場合と同様である。

「空間変数」$x$ については、区間 $[0,1]$ を $N$ 等分する：

$$h=1/N, \quad x_i=ih \quad \hbox{($i=0,1,2,\cdots,N$)}.$$

「時間変数」 $t$ については、刻み幅 (間隔) を $\tau$ とする。 $t_n$ を

$$t_n=n\tau \quad \hbox{($n=0,1,\cdots$)}$$

で定める。

方程式 (1) に現れる二つの微分、$t$ に関する $2$ 階偏微分 $$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)$$ と $x$ に関する $2$ 階偏微分 $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)$$ の双方を、ともに「$2$ 階中心差分商」 で近似すると次の近似方程式が得られる：

$$\frac{u(x,t+\tau)-2u(x,t)+u(x,t-\tau)}{\tau^2}= \frac{u(x+h,t)-2u(x,t)+u(x-h,t)}{h^2}.$$

そこで格子点上 $(x_i,t_n)$ での $u$ の近似値 $U_{i}^n$ を決定する方程式 としては次のものが考えられる。

$$\frac{U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{\tau^2} =\frac{U_{i+1}^... ...{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{h^2} \quad \hbox{($i=1,2,\cdots,N-1$; $n=1,2,3,\cdots$)},$$

これを変形すると

$$U_{i}^{n+1}= 2(1-\lambda^2)U_{i}^{n} +\lambda^2(U_{i-1}^{n}+U_{i+1}^{n}) -U_{i}^{n-1} \quad \hbox{($i=1,2,\cdots,N-1$; $n=1,2,3,\cdots$)}$$ (5)

となる。ただし $\lambda=\tau/h$ と置いた。

一方 (2) からは、ごく自然に

$$U_{i}^{0}=f(x_i) \quad \hbox{($i=0,1,2,\cdots,N$)}$$ (6)

が得られる。(3) からは、例えば (他にも色々なやり方が考えられるが)

$$U_{i}^{1}= (1-\lambda^2)f(x_i) +\frac{\lambda^2}{2}(f(x_{i-1})+f(x_{i+1})) +\tau g(x_i) \quad\hbox{($1\le i\le N$)}$$ (7)

が得られる⁴。 (4D) からは

$$U_{0}^{n}=U_{N}^{n}=0 \quad \hbox{($n=0,1,2,\cdots$)},$$ (8D)

また (4N) からは

$$U_{0}^{n}=U_{1}^{n}, \quad U_{N}^{n}=U_{N-1}^{n} \quad \hbox{($n=0,1,2,\cdots$)}$$ (8N)

が考えられる。

数列 $\{U_{i}^{n}\}$ に関する方程式 (5),(6),(7),(8) は二つの添字 $i$, $n$ を含んでいるが、(5) を漸化式として、時刻に関する方の添字 $n$ の小 さい方から順に計算していくことができる。熱方程式の場合は、二番目の添字 のところには、$n$, $n+1$ しか現れないが、(5) では $n-1$, $n$, $n+1$ と 3 つのものが現れている。$n+1$ での値を求めるために、一段前の $n$ での 値のみならず、もう一段前の$n-1$ での値が必要になったわけである。このこ とは、もとの方程式が時刻 $t$ に関して $2$ 階であることに対応している。 そのため計算を出発させるためには、$n=0$ での値だけでなく、$n=1$ での値 も必要になるが、それは時刻に関する $1$ 階の微分を指定している初期条件 (3) に由来する (7) で与えられている。

熱方程式の場合と同様に、$h$, $\tau$ と性質の異なる刻み幅が 2 つある。 熱方程式の場合と同様に、安定に計算するためには両者を全く勝手なやり方で 0 に持っていくだけでは不十分である。とりあえず結論だけ述べておくと、 「安定であるためには $\lambda$ を $0<\lambda\le1$ と選んで固定したまま、 $h$, $\tau\to 0$とすれば良く、精度の面からは $\lambda=1$ とするのがよ い」。