5.15 微分

微分をする関数 D[] があります。

D[x^n,x]	$(x^n)'$
f=x^2+2x y+3y^2+4x-5y+6
D[f,x]	$f_x$
D[f,x,y]	$f_{xy}$
D[f,{x,2}]	$f_{xx}$
D[Exp[2x+3y],{x,2},{y,3}]	$f(x,y):=\exp(2x+3y)$ に対して $f_{xxyyy}$
Remove[f,x,y,n]
f[x_]:= x^2+2x+3
f''[x]	$f''(x)$
D[f[x]*g[x],{x,5}]	積の高階微分 (Leibniz の公式 5階の場合)
Remove[f,g,x]

テーラー展開をするには、微分をたくさんする必要がありますが、 そのための専用の命令 Series[] があって便利です。

Series[Exp[x],{x,0,10}]          $x=0$ のまわりの $10$ 次までのTaylor 展開！

微分方程式の独立変数の変数変換は面倒ですが、 かなりの部分、Mathematica で出来ます。 次は $1$ 次元波動方程式を解くための有名な変数変換の例の確認です ¹⁰。

  u[x_,t_]:=v[x-c t,x+c t]
  D[u[x,t],{t,2}]/c^2-D[u[x,t],{x,2}]
  Simplify[%]

逆に

  V[xi_,eta_]:=U[(xi+eta)/2,(xi-eta)/(2c)]
  D[V[xi,eta],xi,eta]
  Simplify[%]