2.3 絶対値最大の固有値を求める -- 冪乗法

(ここは時間の関係で入れないでしょう。)

簡単のため $n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能で、 その固有値を $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ , それらに属する固有ベクトルを $u_1$ , $\cdots$ , $u_n$ とします。 さらに $\vert\lambda_1\vert$ は他の固有値の絶対値よりも大きいと仮定します:

$$\vert\lambda_1\vert>\vert\lambda_i\vert$$   $$\mbox{($i=2,3,\cdots,n$)}$$

任意のベクトル $x\in\C^n$ は

$$x=c_1 u_1+c_2 u_2+\cdots c_n u_n$$

と展開できますが、$A^k$ を作用させると

$$A^k x=c_1 A^k u_1+c_2 A^k u_2+\cdots C_n A^k u_n =c_1 \lambda_1^k u_1+c_2 \lambda_2^k u_2+\cdots C_n \lambda_n^k u_n.$$

$k$ が大きいとき、 右辺第 $1$ 項は右辺の他の項と比べて大きくなることが分かります (ただし $c_1\ne 0$ とする)。$k$ を十分大きくすると、 右辺第2項以下は第1項と比べて無視できるほど小さくなると期待できます。 すると $A^k x$ は $u_1$ の定数倍、 すなわち $\lambda_1$ に属する固有ベクトルに近くなるはずです。

以上のことを MATLAB による計算で確かめるためには、 $A^k x$ がオーバーフローすることを防ぐため、 代りにその長さで割った $\dsp\frac{A^k x}{\Vert A^k x\Vert}$ を作ればよいでしょう。

以下では素朴に $A$ をかけていくことで $\dsp\frac{A^k x}{\Vert A^k x\Vert}$ を求めています。

» x=ones(5,1)
» for i=1:100
> y=a*x
> x=y/norm(y)
> end
» a*x ./ x	← a*x の各成分を対応する x の成分で割ってみる
» eig(a)	← 念のため eig() で a の固有値を調べて比較

線形代数では、固有値を固有多項式の根として特徴づけますが、 固有多項式を数値計算で解くのは多くの場合難しいので、 行列の問題のまま各種の反復法を用いるのが普通です。 上で見た方法は『冪乗法』と呼ばれ、多くの固有値計算方法の基礎となっています。