A..3 Gauss の消去法は LU 分解をしていることに他ならない

実は、Gauss の消去法は LU 分解を計算していることに相当する。 このことを理解すれば、LU 分解の計算法を知っていることになる。

ここでは例で納得してもらう。

Gauss の消去法の例としてあげた

$$\left( \begin{array}{cccc} 2&3&-1&5 \\ 4&4&-3&3 \\ -2&3&-1&... ...in{array}{cccc} 2&3&-1&5 \\ 0&-2&-1&-7 \\ 0&0&-5&-15 \end{array} \right)$$

を考えてみよう。 もちろん係数行列の変形だけ取り出すと

$$\left( \begin{array}{ccc} \mbox{\textcolor{red}{$2$}}&3&-1 \\ ... ...ft( \begin{array}{cccc} 2&3&-1 \\ 0&-2&-1 \\ 0&0&-5 \end{array} \right)$$

となる。

$$q_{21} = \frac{\mbox{\textcolor{green}{$4$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$2$}... ... q_{31}=\frac{\mbox{\textcolor{blue}{$-2$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$2$}}}=-1,$$

$$q_{32} = \frac{\mbox{\textcolor{green}{$6$}}} {\mbox{\textcolor{red}{$-2$}}}=-3$$

を並べて

$$L= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end{array} \right)$$

を作り、Gauss の消去法で最後に残った係数行列の部分を

$$U= \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & -1\\ 0 & -2 & -1\\ 0 & 0 & -5 \end{array} \right)$$

とおくと、

$$L U= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -... ...ray}{rrr} 2 & 3 & -1\\ 4 & 4 & -3\\ -2 & 3 & -1 \end{array} \right) =A.$$

実はこのことは一般的に成り立つ (証明は例えば 『「発展形の数値解析」の続き』)。