2.4.2 一部知っているはずのこと

$\dsp\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty$ の証明には、 いくつかの方法がありますが、 積分 $\dsp\int_{1}^n\dfrac{1}{x}\;\Dx$ と比較するやり方が有名です。 その議論から、 $s_n\kinji \log n$ (ものすごく粗い近似) と見当が付きますが、

$$\lim_{n\to\infty}\left(s_n-\log n\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}-\log n\right)$$

が収束することが知られていて、 その極限 $\gamma$を Euler 定数と呼びます。

$$\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}-\log n\right) =0.5772156649 0153286060 6512090082 \cdots$$

であることが知られています。ですから、十分大きな $n$ に対して、 $s_n-\log n\kinji\gamma$, すなわち

$$s_n\kinji\gamma+\log n.$$

これから $S_j\kinji \log 10^j-\log 10^{j-1}=\log 10$ と分かります。

$$\log 10=2.3025850929 9404568401 7991454684 \cdots$$

前項 2.3 で現れた $2.302\cdots$ は、 実は $\log 10$ だったということです。