2.3 もう少し詳しく数値を見る (これはあくまでも参考)

少し工夫して階差数列を計算してみましょう。つまり、 $S_j:=s_{10^j}$, $T_j:=t_{10^j}$ として、 $\{S_j\}_{j\ge 0}$ と $\{T_j\}_{j\ge 0}$ の階差数列 $\{T_j-T_{j-1}\}_{j\ge 1}$, $\{S_j-S_{j-1}\}_{j\ge 1}$ を計算します。結果は

 1.92896825396825        .54976773116655 
 2.25840926367135        .08521616901835 
 2.29809334291066        .00895066649671 
 2.30213517549375        .00089950516589 
 2.30254009382649        .00008999505101 
 2.3025805930235         .00000899994832

のようになります。 $T_j-T_{j-1}\to 0$ (等比数列的) はかなり確からしいですね。

一方 $S_{j}-S_{j-1}$ も $2.302\cdots$ に収束していそうです。 つまり $\{S_j\}$ はほとんど等差数列のようです。

ここまで来たらもう少し粘ってみましょう。もう1回階差を取ると、

 .3294410097031 
 .03968407923931 
 .00404183258309 
 .00040491833274 
 .00004049919701

となります。これは等比数列的に 0 に収束するようです。 なるほど、確からしい。

参考までに使ったプログラムを掲げておきます。

REM kadai5b2.BAS
LET m=6
DIM SS(0 TO m),TT(0 TO m),DS(0 TO m)
LET FMT$=REPEAT$("#",m+1)&"  ###."&REPEAT$("#",15)&" ###."&REPEAT$("#",15)
FOR k=0 TO m
   LET n=10^k
   LET s=0
   LET t=0
   FOR j=1 TO n
      LET s=s+1/j
      LET t=t+1/j^2
   NEXT j
   PRINT USING FMT$: n,s,t
   LET SS(k)=S
   LET TT(k)=T
NEXT k
FOR k=0 TO m-1
   PRINT ss(k+1)-ss(k),tt(k+1)-tt(k)
   LET DS(k)=ss(k+1)-ss(k)
NEXT k
FOR k=0 TO m-2
   PRINT DS(k+1)-DS(k)
next k
END