2.6 挑戦課題3C

これはレポートを提出するかどうか任意。 締め切りはこの講義の最終回まで。

半径 $1/2$ の円の円周は円周率 $\pi$ に等しい ($r=1/2$ なので $2\pi r=2\pi\cdot 1/2=\pi$)。 有名なシラクサのアルキメデス (BC287?〜BC212) は、 内接正 $n$ 角形の周の長さ $p_n$ と、 外接正 $n$ 角形の周の長さ $q_n$ を考え、

$$p_n<\pi<q_n,\quad \lim_{n\to\infty}p_n=\lim_{n\to\infty}q_n=\pi$$

をもとにして、 実際に $n=6,12,24,48,96$ に対して $p_n$, $q_n$ を計算して $\pi$ の評価を得た。

アルキメデスは $\{p_n\}$, $\{q_n\}$ について成り立つ漸化式 (?)

$$q_{2n}=\frac{2 p_n q_n}{p_n+q_n},\quad p_{2n}=\sqrt{p_n q_{2n}}$$

を用いて計算したという (現代の数学を使えば $p_n=n\sin(\pi/n)$, $q_n=n\tan(\pi/n)$ と表される。 これは $\sin$, $\tan$ の計算には直接は役立たないが、 漸化式が成立することの確認には役立つであろう。)。

$n=3\cdot 2^k$ の場合、 すなわち内接・外接正 $3\cdot 2^k$ 角形の周長をそれぞれ $P_k$, $Q_k$ とお こう:

$$P_k:=p_{3\cdot 2^k},\quad Q_k:=q_{3\cdot 2^k}.$$

このとき $\{P_k\}$, $\{Q_k\}$ について成り立つ漸化式を導き、

$$P_1=p_3=3,\quad Q_1=q_3=2\sqrt{3}$$

と合わせて用いて $\{P_k\}$, $\{Q_k\}$ を計算するプログラムを作成し、 以下の (1), (2) に答えよ。

(1)

正96角形 ($k=5$ の場合) を利用すると、$\pi$ のどのような評価が得られるか。

(2)

ネットで検索すると、 内接正多角形の周長で円周率の近似値を求めた話が色々見つかるはずである。 それらの話を確認せよ (正 $n$ 角形の周の長さを用いて小数点以下○○桁の値を求めたとあるが、 本当にそれができるか)。