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方程式が区間 $ (0,1)$ にただ一つの解を持つことの証明

まず $ f'(x)=-\sin x - 1\le 0$ ($ x\in\R$) で、特に $ x = \pi/2
+ 2 n\pi$ ($ n\in\Z$) 以外のところでは $ f'(x) < 0$ であるから、 $ f$ は狭義の単調減少関数である。 そして $ f(0)=1>0$, $ f(1)=\cos 1 - 1 < 0$ ゆえ、 中間値の定理によって、 方程式 $ f(x)=0$ は区間 $ (0,1)$ 内に少なくとも一つの解を持つが、 $ f$ の単調性からそれは $ \R$ 全体でただ一つの解であることが分かる。 $ \qedsymbol$

ARRAY(0xc7ae78)


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Masashi Katsurada
平成17年7月7日