0.0.0.2 解

(1) $\Delta_N$ のすべての小閉方体は

$$A_j:=\left[\dfrac{j-1}{N},\dfrac{j}{N}\right]$$   $$\mbox{($j=1,2,\dots,N$)}$$

であり、 $\mu(A_j)=\dfrac{1}{N}$. また $f$ は明らかに単調増加であるから、

$$\sup_{x\in A_j}f(x)=f\left(\dfrac{j}{N}\right)=\left(\frac{j}{N}\... ...\inf_{x\in A_j}f(x)=f\left(\dfrac{j-1}{N}\right)=\left(\frac{j-1}{N}\right)^2.$$

ゆえに

$$U(f,A,\Delta_N) =\sum_{j=1}^N \sup_{x\in A_j}f(x)\mu(A_j) =\sum_{j=1}^N\left(\frac{j}{N}\right)^2\cdot\frac{1}{N} =\frac{1}{N^3}\sum_{j=1}^Nj^2$$

$$=\frac{1}{N^3}\cdot\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} =\frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2},$$

$$L(f,A,\Delta_N) =\sum_{j=1}^N \inf_{x\in A_j}f(x)\mu(A_j) =\sum_{j=1}^N\left(\fra... ...\frac{1}{N} =\frac{1}{N^3}\sum_{j=1}^N(j-1)^2 =\frac{1}{N^3}\sum_{j=1}^{N-1}j^2$$

$$=\frac{1}{N^3}\cdot\frac{(N-1)N\left[2(N-1)+1\right]}{6} =\frac{(N-1)(2N-1)}{6N^2}.$$

(2) $N$ 等分割の全体 $\{\Delta_N;N\in\N\}$ は、すべての分割 ${\cal P}(A)$ の部分集合であるから、

$$U(f,A)=\inf_{\Delta\in {\cal P}(A)}U(f,A,\Delta) \le \inf_{N\in\N} U(f,A,\Delta_N).$$

$$L(f,A)=\sup_{\Delta\in {\cal P}(A)}L(f,A,\Delta) \ge \sup_{N\in\N} L(f,A,\Delta_N).$$

一般に $L(f,A)\le U(f,A)$ であるから、

$$\sup_{N\in\N} L(f,A,\Delta_N) \le L(f,A)\le U(f,A) \le \inf_{N\in\N}U(f,A,\Delta_N).$$

ところが (1) から分かるように、 $\dsp\sup_{N\in\N} L(f,A,\Delta_N)$ と $\dsp\inf_{N\in\N} U(f,A,\Delta_N)$ はともに $\dfrac{1}{3}$ であるから、

$$U(f,A)=L(f,A)=\frac{1}{3}.$$

これは $f$ が $A$ で積分可能で、 $\dsp\int_A f(x)\;\D x=\dfrac{1}{3}$ であることを示している。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xedaf54)