0.0.0.10 4.

(1) 略 (2) $K_n:=\{(x,y,z);\dfrac{1}{n^2}\le x^2+y^2+z^2\le1\}$ とおくと、$\{K_n\}$ は $\Omega$ のコンパクト近似列である。 被積分関数は $\Omega$ 上で符号が一定 ($\le0$)なので、 求める広義積分は、$K_n$ 上の積分の $n\to\infty$ での極限となる。

$$\tint_{K_n} \frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\;\DxDyDz =\tint_{1/n\le r\le 1\atop 0\le\theta\le\pi,0\le\phi\le2\pi} \frac{\log(r^2)}{r}\cdot r^2\sin\theta\;\D r \D\theta \D\phi$$

$$=\int_0^\pi \sin\theta\;\D\theta \cdot \int_0^{2\pi}\D\phi \cdot 2\int_{1/n}^1 r\log r\;\D r,$$

$$\int_{1/n}^1 r\log r\;\D r =\left[\frac{r^2}{2}\log r\right]_{1/n}^1 -\int_{1/n}^1 \frac{r^2... ...frac{1^1}{2}\log 1-\frac{1}{2n^2}\log\frac{1}{n} -\int_{1/n}^1\frac{r}{2}\;\D r$$

$$=\frac{1}{2n^2}\log n-\left[\frac{r^2}{4}\right]_{1/n}^1 =\frac{1}{2n^2}\log n-\frac{1}{4}+\frac{1}{4n^2} \to-\frac{1}{4}.$$

であるから

$$\tint_\Omega \frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\;\DxDyDz =2\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-2\pi.$$

(3) $K_n:=\{(x,y,z);1\le x^2+y^2+z^2\le n^2\}$ とおくと、$\{K_n\}$ は $\Omega$ のコンパクト近似列である。 被積分関数は $\Omega$ 上で符号が一定 ($\ge0$)なので、 求める広義積分は、$K_n$ 上の積分の $n\to\infty$ での極限となる。

$$\tint_{K_n} \frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\;\DxDyDz =\tint_{1\le r\le n\atop 0\le\theta\le\pi,0\le\phi\le2\pi} \frac{\log(r^2)}{r^4}\cdot r^2\sin\theta\;\D r \D\theta \D\phi$$

$$=8\pi\int_{1}^{n} r^{-2}\log r\;\D r,$$

$$\int_{1}^{n} r^{-2}\log r\;\D r =\left[-r^{-1}\log r\right]_{1}^{n} +\int_{1}^{n} r^{-1}\cdot\frac{1}{r}\;\D r =-\frac{\log n}{n}+\frac{\log 1}{1} +\int_1^n r^{-2}\;\D r$$

$$=-\frac{\log n}{n}+\left[-r^{-1}\right]_{1}^{n} =-\frac{\log n}{n}-\frac{1}{n}+1\to 1$$

であるから

$$\tint_\Omega \frac{\log\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\;\DxDyDz =8\pi. \qed$$