0.0.0.11 5.

(1)

$$\rot\Vector{f} = \begin{pmatrix}\dfrac{\rd}{\rd y}\left(z(x^2+y^2+z^2)\right)-\d... ...pmatrix} = \begin{pmatrix}2yz-2yz 2zx-2zx 2xy-2xy \end{pmatrix}=\Vector{0}.$$

(2) 略 (3) $\Vector{\varphi}(t)=t\begin{pmatrix}x y z\end{pmatrix}$, $\Vector{\varphi}'(t)=\begin{pmatrix}x y z\end{pmatrix}$, $\Vector{f}\left(\Vector{\varphi}(t)\right) =t^3\begin{pmatrix} x(x^2+y^2+z^2)\\ y(y^2+y^2+x^2)\\ z(z^2+y^2+y^2) \end{pmatrix}$, $\Vector{f}\left(\Vector{\varphi}(t)\right)\cdot\Vector{\varphi}'(t) =t^3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2$ であるから、

$$\int_C\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} =\int_0^1 t^3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\;\D t =\dfrac{1}{4}\left(x^2+y^2+z^2\right)^2.$$

(4) 上の (1), (2) から、 $\Vector{f}$ はポテンシャルを持つことが分かる。 $C$ は閉曲線であるから、 $\dsp\int_C\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}=0$. あるいは、 $F(x,y,z):=\left(x^2+y^2+z^2 \right)/4$ がポテンシャルであることが分かるので、

$$\int_C\Vector{f}\cdot\D r= F(\Vector{\varphi}(\pi))-F(\Vector{\varphi}(-\pi))=F(0,1,0)-F(0,1,0)=0. \qed$$