0.0.0.9 3.

(1) ともに底面積 $1/2$, 高さ $1$ の三角錐の体積なので、 $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{6}$. (2) $(1,0)$ を $(12,11)$ に、$(0,1)$ を $(14,13)$ に写す線型写像は、 $\Vector{\varphi}(u,v)= \begin{pmatrix} 12 & 14 \\ 11 & 13 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u v \end{pmatrix}$. これは $D$ を $\Omega$ に写す。 (3) $(x,y)^T=\Vector{\varphi}(u,v)$ という 変数変換を行うと、 $\dfrac{\rd(x,y)}{\rd(u,v)}= \det\Vector{\varphi'}=12\cdot13-14\cdot11=2$ であるから、

$$\mu_2(\Omega)=\dint_\Omega\DxDy =\dint_D\left\vert\frac{\rd(x,y)}{\rd(u,v)}\right\vert\D u \D v =2\int_D\D u \D v=2\cdot\frac{1}{2}=1.$$

(あるいは線型写像は面積を行列式倍するという定理を使っても良い。) (4) 上と同様に

$$\dint_\Omega x\;\DxDy =\dint_D (12u+14v)\left\vert\frac{\rd(x,y)}{\rd(u,v)}\right\vert\D u \D v =24\dint_D u\;\D u \D v+28\dint_D v\;\D u \D v$$

$$=24\cdot\frac{1}{6}+28\cdot\frac{1}{6}=4+\frac{14}{3}=\frac{26}{3}. \qed$$