0.0.0.8 2.

(1) $\Omega=\left\{(x,y); 0\le x\le 2, 0\le y\le \dfrac{x}{2}\right\}$ であるから、

$$\dint_\Omega 3x^2y\;\DxDy =\int_0^2\left(\int_0^{x/2}3x^2y\;\Dy\right)\Dx =\int_0^23x^2\lef... ...ight]_0^{x/2}\Dx =\int_0^2\frac{3}{8}x^4\;\Dx =\left[\frac{3x^5}{40}\right]_0^2$$

$$=\frac{3}{40}\cdot2^5=\frac{3\cdot2^2}{5} =\frac{12}{5}.$$

(2)

$$\int_0^{\sqrt{\pi}} \left(\int_{y/2}^{\sqrt{\pi}/2}\sin\left(x^2\right)\Dx\right) \Dy =\int_0^{\sqrt{\pi}/2}\left(\int_0^{2x}\sin\left(x^2\right)\Dy\right)\Dx =\int_0^{\sqrt{\pi}/2} 2x\sin(x^2)\Dx$$

$$=\left[-\cos\left(x^2\right)\right]_0^{\sqrt{\pi}/2} =-\cos\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^2+1 =1-\cos\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

(3) ともに $z=f(r)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ の形をしているので、回転面である。 $y=0$ での切口 $z=x^2$, $z=1-x^2$ を描いてみると、

$$\Omega=\{(x,y,z); x^2+y^2\le z\le 1-x^2-y^2\}$$

であることが分かる。これは縦線集合である。実際

$$D:=\{(x,y); x^2+y^2\le 1-(x^2+y^2)\} =\left\{(x,y); x^2+y^2\le \frac{1}{2}\right\}.$$

とおくとき、$D$ で $x^2+y^2\le 1-(x^2+y^2)$ が成り立つ。 ゆえに $\Omega$ の体積は

$$\mu_3(\Omega) =\tint_\Omega \DxDyDz =\dint_D\left(\int_{x^2+y^2}^{1-(x^2+y^2)}\Dz\right)\DxDy$$

$$=\dint_D\left[1-2(x^2+y^2)\right]\DxDy =\dint_{0\le r\le1/\sqrt{2}\atop 0\le\theta\le2\pi}(1-2r^2)\cdot r\;\D r \D\theta$$

$$=2\pi\int_0^{1/\sqrt{2}}(r-2r^3)\D r =2\pi\left[\frac{r^2}{2}-\fr... ...2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right) =2\pi\cdot\frac{1}{8}=\frac{\pi}{4}. \qed$$