C..2 首座小行列式作戦

$k=1,2,\cdots$ に対して、$\det A_k$ ($A_k$ は $A$ の $k$ 次首座小行列) を計算して符号を調べる。

(i)

すべて正である ( $\forall k\in\{1,\cdots,n\}$ $\det A_k>0$) ことは、 $A$ が正値であるための必要十分条件である。

(ii)

負から始まり、負と正が交互に現れる ( $\forall k\in\{1,\cdots,n\}$ $(-1)^k\det A_k>0$) ことは、 $A$ が負値であるための必要十分条件である。

(iii)

上の (i), (ii) のいずれでもない場合、$\det A$ を計算する。 もし $\det A\ne 0$ であるならば、$A$ は不定符号である。 $\det A=0$ のときは、一般には面倒だが、

(a)

$n=2$ の場合は、正値、負値、不定符号のいずれでもないと結論できる ($\det A<0$ $\LongIff$ $A$ は不定符号)。

(b)

また $n=3$ の場合は、固有多項式が容易に因数分解可能で、 符号の判定は容易である。結論だけ書いておくと

$$A=\begin{pmatrix} a&b&c b&d&e c&e&f \end{pmatrix}$$

の固有多項式は

$$\det(\lambda I-A)=\lambda^3-(a+d+f)\lambda^2+ (-b^2-c^2-e-2+ad+af+df)\lambda-\det A$$

であるから、$\det A=0$ を満たすとき、

$$\lambda_1\lambda_2=-b^2-c^2-e-2+ad+af+df$$

が負ならば不定符号、そうでないならば正値でも負値でも不定符号でもない。

(c)

$n\ge 4$ の場合は研究課題であろう。