C..3 Gaussの消去法作戦

$A$ の対角線から下を掃き出す。 $A$ が正値であれば、対角線に非零要素は現れず、 行交換なしに最後まで上三角化が進められて、対角線に正数が並ぶはずである。 一方、$A$ が負値であれば、対角線に非零要素は現れず、 行交換なしに最後まで上三角化が進められて、対角線に負数が並ぶはずである。 そのいずれでもない場合、 必要ならば行交換を施して計算を進めて $A$ の行列式を計算する (行交換を全部で $r$ 回した場合、 最終的には対角成分の積 $\times(-1)^r=\det A$ である)。 $\det A\ne 0$ ならば、$A$ は 0 を固有値に持たず、 正値でも負値でもないので、$A$ は実は不定符号であることが分かる。 $\det A=0$ の場合は少々難しいが、シフトしてみるなどして (つまり $A$ の代りに、 $A+\sigma I$ ($\sigma$ は適当に選ぶ実数) を調べる)、 「何とかなる」場合が多いであろう。

$A=\begin{pmatrix}1&2&3 2&2&0 3&0&3 \end{pmatrix}$ に対する Gauss の消去法は、行交換なしに

$$\begin{pmatrix}1&2&3 2&2&0 3&0&3\end{pmatrix}\to \begin{pmatr... ... 0&-6&-3\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1&2&3 0&-2&-6 0&0&15\end{pmatrix}$$

となるので、いわゆる符号は $(1,2)$ (負の固有値が$1$個, 正の固有値は $2$ 個) で、不定符号である。

$p(\lambda):=\det(\lambda I-A)$ の根は

$$\lambda = \frac{1}{3} \left(6+\frac{7 6^{2/3}}{\sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}+\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}\right),$$

$$\quad 2-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}{6^{2/3}}+\frac{-7+7 i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}},$$

$$\quad 2+\frac{i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{-9+i \sqrt{1977}}}{6^{2/3}}+\frac{-7-7 i \sqrt{3}}{\sqrt[3]{6 i \left(\sqrt{1977}+9 i\right)}}.$$

分かりづらいけれど、これは (もちろん) いずれも実数で

$$\lambda\kinji 5.580664\cdots,2.2874\cdots,-1.877074\cdots.$$

$p$ のグラフは次のようになる。