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逆関数の微分法

1変数関数の場合の

$\displaystyle \frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\;\dfrac{\D y}{\D x}\;}$

に相当する定理がある。

$\begin{jtheorem}[逆関数の微分法] $U$ と $V$ は $\R^n$ の開集合で、$a\in U$, ... ...$ は逆関数を表し、右辺の ${\mathstrut}^{-1}$ は逆行列を表す。) \end{jtheorem}$

Proof. 逆関数の定義により、

$\displaystyle \varphi^{-1}\left(\varphi(x)\right)=x$ $\displaystyle \mbox{($x\in U$)}$ $\displaystyle .$

$\varphi$ は

で、 $\varphi^{-1}$ は

で全微分可能であるから、合成関数の微分法より、

$\displaystyle \left(\varphi^{-1}\right)'(b)\varphi'(a)=I$ $\displaystyle \mbox{($I$ は $n$ 次の単位行列)}$

が成り立つ。ゆえに $\left(\varphi^{-1}\right)'(b)=\varphi'(a)^{-1}$ . $\qedsymbol$ ARRAY(0xfcf0ac) $\qedsymbol$

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Masashi Katsurada
平成23年6月13日