略解

すみませんが、図を描くのは省略させてもらいます (だれか描いてくれないかなあ)。

(1)

$\emptyset$ は $\R^2$ の開集合であり、$\R^2$ の閉集合でもある。 これは命題0.3, 0.4 で済んでいる。

(2)

$\R^2$ は $\R^2$ の開集合であり、$\R^2$ の閉集合でもある。 これは命題0.3, 0.4 で済んでいる。

(3)

$\{(0,0)\}$ は $\R^2$ の閉集合である。 一般に $\forall a\in\R^n$ に対して、$A=\{a\}$ は $\R^n$ の閉集合である。 実際、 $f\colon\R^n\ni x\mapsto\left\Vert x-a\right\Vert^2=\dsp\sum_{j=1}^n \left(x_j-a_j\right)^2\in\R$ は、 多項式関数であるから、$\R^n$ 上の連続関数で、 $A=\{x\in\R^n; f(x)=0\}$ は 命題0.2 (4) により $\R^n$ の閉集合である。 あるいは、

$$A=\bigcap_{j=1}^n F_j,\quad F_j:=\{x\in\R^n; x_j=a_j\}$$

と書き直して、 各 $F_j$ が 命題0.2 (4) により $\R^n$ の閉集合であること、 それと 命題0.4 (2) を使う、ということも出来る。

(4)

$A=\{\vec x_1,\cdots,\vec x_n\}$ は $\R^2$ の閉集合である。 実際、 $A=\dsp\bigcup_{j=1}^n F_j$, $F_j:=\{\vec x_j\}$ ( $j=1,\dots,n$) と表すことが出来、各 $F_j$ は (3) で示したように $\R^2$ の閉集合で、 命題0.4 (3) を使えば良い。

(5)

$(0,1)\times(2,3)=U_1\cap U_2$, $U_1:=\{(x,y)\in\R^2; 0<x<1\}$, $U_2:=\{(x,y)\in\R^2; 2<y<3\}$. 命題0.1 (3) を使えば $U_1$ と $U_2$ が $\R^2$ の開集合であるこ とが分かり、命題0.3 (3) を使えば $A$ が $\R^2$ の 開集合であることが分かる。

(6)

$[0,1]\times (2,3)$ は $\R^2$ の開集合でもないし、 $\R^2$ の閉集合でもない。

(7)

$A=[0,1]\times[2,3]$ は $\R^2$ の閉集合である。 実際 $F_1:=\{(x,y)\in\R^2; 0\le x\le 1\}$, $F_2:=\{(x,y)\in\R^2; 2\le y\le 3\}$ とおくと、 $A=F_1\cap F_2$ で、 命題0.2 (3) を使えば $F_1$ と $F_2$ が $\R^2$ の閉集合であるこ とが分かるので、命題0.4 (2) を使えば $A$ が $\R^2$ の 閉集合であることが分かる。

(8)

$A=\{(x,y)\in\R^2; 1<x^2+y^2<4\}$ は $\R^2$ の開集合である。 $f(x,y):=x^2+y^2$ ( $(x,y)\in\R^2$), $a=1$, $b=4$ とおくと、 $f(x,y)$ は $x,y$ の多項式で、 $f\colon\R^2\to\R$ は連続関数であり、 $A=\{(x,y)\in\R^2; a<f(x,y)<b\}$ と書けるので、 命題0.1 (3) を使えば $A$ が $\R^2$ の開集合であることが分かる。

(9)

$A=(0,\infty)\times(0,\infty)$ は $\R^2$ の開集合である。 $U_1:=\{(x,y)\in\R^2; x>0\}$, $U_2:=\{(x,y)\in\R^2; y>0\}$ とおくと、 $U_1$ と $U_2$ は 命題0.1 (1) より $\R^2$ の開集合である。 そして $A=U_1\cap U_2$ であるから、 命題0.3 (3) より $A$ は $\R^2$ の開集合である。

(10)

$A=\{(x,y)\in\R^2; x^3\le y\le x^2\}$ は $\R^2$ の閉集合である。 $f_1(x,y):=y-x^3$, $f_2(x,y):=y-x^2$, $F_1:=\{(x,y)\in\R^2; f_1(x,y)\ge 0\}$, $F_2:=\{(x,y)\in\R^2; f_2(x,y)\le 0\}$ とおくと、$F_1$ と $F_2$ は 命題0.2 (1), (2) より $\R^2$ の閉集合である。 また $A=F_1\cap F_2$ であるから、 命題0.4 (2) より $A$ は $\R^2$ の閉集合である。

(11)

$A=\R^2\setminus\{(0,0)\}$ は $\R^2$ の開集合である。 実際、 $f\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto x^2+y^2\in\R$ は連続関数で、 $A=\{(x,y)\in\R^2; f(x,y)>0\}$ であるから、 命題0.1 (1) より $A$ は $\R^2$ の開集合である。 $\qedsymbol$

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