連続関数の重要な性質

次の3つの定理は重要である。

(a)

中間値の定理

(b)

「$\R^n$ の有界閉集合 $K$ 上の実数値連続関数 $f\colon K\to\R$ は、 必ず最大値を持つ」 (Weierstrass,)

(c)

「$\R^n$ の有界閉集合 $K$ 上の連続関数 $f\colon K\to\R^m$ は、 $K$ で一様連続である」 (Weierstrass,)

(c) は積分論で重要な役割を果たすが、 この『多変数の微分積分学１』では必要ないので省略する。

(b) は重要であるが、『数学演習２』でも学んだはずだし ($\R^2$ での話だったかもしれないが、$\R^n$ でも同様である)、 とりあえず証明は省略する。

(a) は簡単であるので、ここで紹介して証明する。