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次の命題は既に習ったはずである
(「集合・距離・位相1」でも出て来るはず)。
Proof.
念のため、(iii) だけでも証明しておく。
![$ x\in U_1\cap U_2$](img67.png)
とすると、
![$ x\in U_1$](img68.png)
で、
![$ U_1$](img69.png)
は開集合だから、
![$ \exists \eps_1>0$](img70.png)
s.t.
![$ B(x;\eps_1)\subset U_1$](img71.png)
.
同様に
![$ \exists\eps_2>0$](img72.png)
s.t.
![$ B(x;\eps_2)\subset U_2$](img73.png)
.
![$ \eps:=\min\{\eps_1,\eps_2\}$](img74.png)
とおくと、
![$ \eps>0$](img40.png)
で、
であるから、
![$ B(x;\eps)\subset U_1\cap U_2$](img76.png)
.
ゆえに
![$ U_1\cap U_2$](img77.png)
は
![$ \R^n$](img50.png)
の開集合である。
![$ \qedsymbol$](img34.png)
ARRAY(0xf62e30)
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Masashi Katsurada
平成23年6月2日