3 本日すべきこと

「古典的」CG 法で連立 $1$ 次方程式を解くプログラムを使って 簡単な実験をしてもらう。

(1)

サンプル・プログラム cg.C を入手して、コンパイル&実行してみる (プログラムの内容について、ざっと解説する)。 実行を開始すると、c1,c2,N= と尋ねてくるが、c1, c2 は 行列 $A$ を

$$A= \left( \begin{array}{cc} c_1 A' & O \\ O & c_2 A' \end{array} \right)$$

と表したときの $c_1$, $c_2$ を指す。 例えば、1 1 100 と入力すると、以下の (2-i) を解くことができ、 1 10 100 と入力すると、(2-ii) を $c=10$ で解くことができる。

(2)

対角線上の成分の値が $4$, その両隣りの成分が $1$ である $50$ 次の三 重対角行列を $A'$ とする:

$$A'= \left( \begin{array}{ccccc} 4& 1& & & \bigzerou \\ ... ...\\ & & 1& 4& 1 \\ \bigzerol& & & 1& 4 \end{array}\right).$$

さらに適当な解ベクトル $x^\ast \in\R^{100}$ を選んで、以下の実験をし て、その結果を分析する。

((2-i))

$$A^{(1)}\equiv \left( \begin{array}{cc} A' & O \\ O & A' \end{array} \right), \qquad b^{(1)}\equiv A^{(1)}x^\ast$$

として方程式 $A^{(1)}x=b^{(1)}$ を解け。

((2-ii))

(2-i) の方程式のうち、最初の 50 行を $c$ 倍($c=10$, あるいは $100$) した問題、すなわち

$$A^{(2)}\equiv \left( \begin{array}{cc} cA' & O \\ O & A' \end{array} \right), \qquad b^{(2)}\equiv A^{(2)}x^\ast$$

として作った方程式 $A^{(2)}x=b^{(2)}$ を解け。

((2-iii))

(2-i) の方程式のうち、すべての行を $c$ 倍($c=10,100$) した問題、すなわ ち

$$A^{(3)}\equiv \left( \begin{array}{cc} cA' & O \\ O & cA' \end{array} \right), \qquad b^{(3)}\equiv A^{(3)}x^\ast$$

として作った方程式 $A^{(3)}x=b^{(3)}$ を解け。