2.2 補間型公式

相異なる $n+1$ 点 $a_i$ ($i=0$, $1$, $\cdots$, $n$) を標本点とする、関 数 $f$ の補間多項式$f_n(x)$ は^2.1次式で与えられる (Lagrange の補間公式):

$$f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{F_n(x)}{(x-a_k)F_n'(a_k)}f(a_k),\quad F_n(x)=(x-a_0)(x-a_1)\cdots(x-a_n).$$

このとき

$$\int_a^b f_n(x) \Dx=\sum_{k=0}^n w_k f(a_k),\quad w_k=\frac{1}{F_n'(a_k)}\int_a^b \frac{F_n(x)}{x-a_k}\Dx.$$

この値を $I=\int_a^b f(x)\Dx$ の近似値として採用する公式を 補間型積分公式と呼ぶ。